Исследование свойств, не требующее получения решений Часть 3: Часть 1
Математика, 11 класс
Задача 3.19. Условие При каких значениях a уравнение \frac{(x-2a)\log_3(x+2a-1)}{\sqrt{x^2+x-2}}=0 имеет единственное решение? Решение Решение уравнения дает либо условие x-2a=0\Longleftrightarrow x=2...
Видео
Конспект
Задача 3.19.
Условие
При каких значениях a уравнение \frac{(x-2a)\log_3(x+2a-1)}{\sqrt{x^2+x-2}}=0 имеет единственное решение?
Решение
Решение уравнения дает либо условие x-2a=0\Longleftrightarrow x=2a, либо \log_3(x-2a-1)=0\Longleftrightarrow x=2-2a. Если эти корни равны и удовлетворяют условию x^2+x-2>0 , то это решение задачи. Однако это возможно только при a=\frac{1}{2} , при этом x=1 , что обращает знаменательв нуль.
Пусть a\ne\frac{1}{2} , то есть корни разные. Рассмотрим x=2a . \left\{\begin{array}{l}
x=2a, \\
x+2a-1>0,\\
x^2+x-2>0
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x=2a,\\
a > \frac{1}{4},\\
\left[\begin{array}{l}
2a>1, \\
2a<-2,\\
\end{array} \right.
\end{array} \right. Отсюда мы имеем x=2a при a> \frac{1}{2} .
Рассмотрим x=2-2a . \left\{\begin{array}{l}
x=2-2a, \\
x+2a-1>0,\\
x^2+x-2>0
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x=2-2a,\\
\left[\begin{array}{l}
2-2a>1, \\
2- 2a<-2,\\
\end{array} \right.
\end{array} \right. Значит, второе решение существует при a<\frac{1}{2} или при a>2 . В области a>2 существуют оба решения, следовательно, она нм не подходит.
Ответ \left(-\infty;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};2\right) .
Пример 3.20.
Условие
Найдите все значения параметра a , при каждом из которых график функции y=\left|3^{x-1}-1\right| -\left|3^{x-1}-3\right| -|x+2|-a пересекает ось абсцисс, но менее, чем в четырех точках.
Решение
Сформулируем задачу более привычно: нужно найти значения параметра a , при которых уравнение \left|3^{x-1}-1\right| -\left|3^{x-1}-3\right| -|x+2|=a имеет решения, но их меньше 4 .
А вот эту задачу удобно решать графически. Обозначим левую часть уравнения g(x) . Раскроем модули с учетом критических точек x= -2;1;2 , в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль:
При x\leqslant -2 g(x)=x ;
При -2 < x\leqslant 1 g(x)=-x-4 ;
При 1 < x\leqslant 2 g(x)=2\cdot 3^{x-1}-x-6 ;
При x > 2 g(x)=-x .
Построим график функции y=g(x) (рис. 2).
Pokaz_7 Из графика видно, что решения есть только при a\leqslant -2 , при больших a графики y=g(x) и y=a не пересекаются. При a=-2 точек пересечения две, при a=-5 их три, а при a<-5 – две. Отсюда получаем ответ.
Ответ (-\infty; -5]\cup \{-2\} .
Задача 3.21.
Условие
Найдите те значения параметра a , при которых графики функций y=|2\log_2 {x^2}-8| и y=|\log_2 {x^4}-16|+4a пересекаются ровно в двух точках.
Решение
Сформулируем задачу иначе: нужно найти значения параметра a , при которых уравнение |2\log_2 {x^2}-8|=|\log_2 {x^4}-16|+4a имеет ровно два решения.
Эту задачу удобно решать графически.
Пусть t=\log_2 {x^2} , тогда уравнение примет вид 2|t-4|-2|t-8|-4a=0. Построим график функции g(x)=|t-4|-|t-8|=\left[\begin{array}{l}
-t+4+t-8=-4, \qquad t\le 4, \\
t-4+t-8=2t-12,\quad 4\le t\le 8,\\
t-4-t+8,\quad t\ge 8.
\end{array} \right.
Построим график функции y=g(x) (рис. ).
Из графика видно, что при точек пересечения у функции y=2a при -4<2a<4 будет одна, при 2a=\pm4 их будет бесконечно много, при остальных a решений нет.
Тогда, с учетом того, что уравнение log_2 x^2=y_0 дает ровно два решения, получаем при -2<a<2 будет два решения уравнения.
Ответ (-2;2) .