Исследование свойств, не требующее получения решений Часть 3: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 3.22.

Условие

Определите, при каких значениях параметра a уравнение |x-2|=a\log_2|x-2| имеет ровно два решения.

Решение

Введем новую переменную t=|x-2| при условии, что t>0 . Тогда уравнение примет вид t=a\log_2 t . Если это уравнение будет иметь единственное решение, то исходное уравнение будет иметь ровно два решения.

image.png

Очевидно, что при a=0 и t>0 уравнение не имеет решений. При a\ne 0 решим уравнение графическим методом: решениями уравнения будут общие точки графиков двух функций, y_1(t)=t и y_2(t)=a\log_2 t . При a<0 функция y_1 (t) - возрастающая функция, а y_2(t) - убывающая (рис. 3), следовательно, у них имеется только одна точка пересечения. Таким образом, все a<0 удовлетворяют требованиям условия. Если a>0 , то обе функции возрастающие и, как показано на рис. 4, единственное решение возможно только если графики касаются друг друга. В том случае в точке касания равны как значения функций, так и их производные: \left\{ \begin{array}{l}

t=a\log_2 t, \\

t'=(a\log_2 t)', \\

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow

\left\{ \begin{array}{l}

t=a\log_2 t, \\

1=\frac{a}{t\ln 2}, \\

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow\\

\left\{ \begin{array}{l}

t=a\log_2 t, \\

1=\frac{a}{t\ln 2}. \\

\end{array} \right. Из первого уравнения находим t и подставляем его во второе уравнение, откуда получаем \ln t=1 , значит, t=e , а a=t\ln 2=e \ln 2 .

Ответ a\in (-\infty;0)\cup\{e\ln 2\} .

Задача 3.23.

Условие

Определите, при каких значениях параметра a уравнение 2x^2=a\log_4(2x^2+1)-1 имеет единственное решение.

Решение

Обозначим t=2x^2+1 , тогда уравнение примет вид t=a\log_4 t. Построим графики y(t)=a\log_4 t при a<0 и при a>0 . очевидно, что в первом случае пересечение только во одной точке для любого отрицательного a . А при положительных a единственное решение существует только при касании графиков y(t)=a\log_4 t и y(t)=a . Запишем условие касания: \left\{ \begin{array}{l}

t=a\log_4 t, \\

t'=(a\log_4 t)', \\

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow

\left\{ \begin{array}{l}

t=a\log_2 t, \\

1=\frac{a}{t\ln 4}, \\

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow\\

\left\{ \begin{array}{l}

t=a\frac{\ln t}{\ln 4}, \\

1=\frac{a}{t\ln 4}. \\

\end{array} \right. Отсюда получаем, что \ln t=1\Longleftrightarrow t=e. Тогда из второго уравнения системы получаем a=e\ln 4 .

Ответ a\in (-\infty;0)\cup\{e\ln 4\} .

Пример 3.24.

Условие

При каких a система уравнений \left\{ {\begin{array}{l}

\log_5 (y+6)-2\log_{25} x=0, \\

(x+a)^2+2y-a=0

\end{array}} \right. имеет хотя бы одно решение?

Решение

Сначала отметим, что областью допустимых значений будет x>0,~y>-6 . Далее, из первого уравнения следует соотношение: y+6=x. Подставляя y=x-6 во второе уравнение, получаем систему: \left\{ {\begin{array}{l}

x > 0,\\

y=x-6, \\

x^2+2ax+a^2+2x-a-12=0,

\end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}

x > 0,\\

y=x-6, \\

x^2+2(a+1)x+a^2-a-12=0.

\end{array}} \right. Решение системы существует, если хотя бы один из корней (больший) квадратного уравнения больше нуля: x = -(a+1)+\sqrt {3a+13}>0. Решим это иррациональное неравенство. \begin{array}{l}

\sqrt {3a+13} > a + 1

\Longleftrightarrow

\left[ \begin{array}{l}

\left\{ \begin{array}{l}

a + 1 < 0,\\

3a + 13 \geqslant 0,\\

\end{array} \right.\\

\left\{ \begin{array}{l}

a + 1 \geqslant 0,\\

3a + 13 > (a + 1)^2,\\

\end{array} \right.

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow \\

\left[ \begin{array}{l}

\left\{ \begin{array}{l}

a < - 1,\\

a \geqslant - \frac{13}{3},\\

\end{array} \right.\\

\left\{ \begin{array}{l}

a \geqslant - 1,\\

a^2 - a - 12 < 0,\\

\end{array} \right.

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow

\left[ \begin{array}{l}

- \frac{13}{3} \leqslant a < - 1,\\

- 1 \leqslant a < 4,

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow

- \frac{13}{3} \leqslant a < 4.

\end{array}

Ответ \left[-\frac{13}{3} ;4\right) .