Исследование свойств, не требующее получения решений Часть 1: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 3.5.

Условие

При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения (2\log_a |x-2|-\log_a x -1)(2\log_{a^2} |x+4|-\log_a 2a +1)=0 больше, чем 12a+7 ?

Решение

Определим ОДЗ: \left\{ {\begin{array}{l}

x >0, \\

x\ne 2,\\

a>0, \\

a \ne 1.

\end{array}} \right. Преобразуем уравнение с учетом ОДЗ: (2\log_a |x-2|-\log_a x -1)(2\log_{a^2} |x+4|-\log_a 2a +1)=0\Longleftrightarrow \left(\log_a \frac{(x-2)^2}{x} -1\right)\left(\log_a \frac{x+4}{2a}+1\right)=0.

Вспомним, что в задаче фигурирует сумма квадратов корней, поэтому сначала выясним, существуют ли они. Приравнивая нулю второй множитель в последнем уравнении, получаем \log_a \frac{x+4}{2a}+1=0\Longleftrightarrow \frac{x+4}{2a}=\frac{1}{a}\Longleftrightarrow x+4=2. Из условия x>0 вытекает, что последнее уравнение решений не дает. Приравняем нулю первый множитель. \log_a \frac{(x-2)^2}{x} -1=0\Longleftrightarrow \frac{x^2-4x+4}{x}=a\Longleftrightarrow x^2-(a+4)x+4=0. Для существования решений квадратного уравнения нужно, чтобы D=(a+4)^2-16=(a+8)\cdot a\geqslant 0 . Теперь, используя теорему Виета, найдем сумму квадратов корней x_1 и x_2 : x^2 _1+x^2 _2 = (x_1+x_2)^2-2 x_1 x_2=(a+4)^2-2\cdot 4=a^2+8a+8. Сумма квадратов корней больше чем 12a+7 , если a^2+8a+8>12a+7\Longleftrightarrow a^2-4a+1>0\Longleftrightarrow \left(a - \left( 2 + \sqrt{3} \right) \right) \left(a - \left( 2 - \sqrt{3} \right) \right)>0. Учитывая ОДЗ и условие существования корней, получаем, что либо 0<a<2-\sqrt{3} , либо a>2+\sqrt{3} .

Ответ \left(0; 2 - \sqrt{3} \right) \cup \left( 2+\sqrt{3};+\infty\right) .

Задача 3.6.

Условие

При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения \left(\frac{1}{5}\log_a |x+3|^5-\log_a 2a +1\right)(4\log_{a^2} |4-x|-\log_a x -1)=0 больше, чем 20a+31 ?

Решение

Определим ОДЗ: \left\{ {\begin{array}{l}

x >0, \\

x\ne 4,\\

a>0, \\

a \ne 1.

\end{array}} \right. Преобразуем уравнение с учетом ОДЗ: (2\log_a |x-2|-\log_a x -1)(2\log_{a^2} |x+4|-\log_a 2a +1)=0\Longleftrightarrow \left(\log_a \frac{x+3}{2a} +1\right)\left(\log_a \frac{(4-x)^2}{x}-1\right)=0. В задаче нужно найти сумму квадратов корней, но сначала выясним, существуют ли они. Приравнивая нулю первый множитель в полученном уравнении, имеем \log_a \frac{x+3}{2a} +1=0\Longleftrightarrow \frac{x+3}{2a} =\frac{1}{a}\Longleftrightarrow x+3=2. Из условия x>0 вытекает, что последнее уравнение решений не дает. Приравняем нулю второй множитель. \log_a \frac{(4-x)^2}{x}-1=0\Longleftrightarrow \frac{(4-x)^2}{x}=a\Longleftrightarrow x^2-(a+8)x+16=0. Для существования решений квадратного уравнения нужно, чтобы D=(a+8)^2-64=(a+16)\cdot a\geqslant 0 . Теперь, используя теорему Виета, найдем сумму квадратов корней x_1 и x_2 : x^2 _1+x^2 _2 = (x_1+x_2)^2-2 x_1 x_2=(a+8)^2-2\cdot 16=a^2+16a+32. Сумма квадратов корней больше чем 20a+31 , если a^2+16a+32>20a+31\Longleftrightarrow a^2-4a+1>0\Longleftrightarrow \left(a - \left( 2 + \sqrt{3} \right) \right) \left(a - \left( 2 - \sqrt{3} \right) \right)>0. Учитывая ОДЗ и условие существования корней, получаем, что либо 0<a<2-\sqrt{3} , либо a>2+\sqrt{3} .

Ответ \left(0;2-\sqrt{3}\right)\cup\left( 2+\sqrt{3};+\infty\right) .

Пример 3.7.

Условие

Найдите все значения параметра a , для которых при каждом x из промежутка [ - 2; 0) значение выражения 3 - 4a \cdot 5^x не равно значению выражения 25^x + (1 - a) \cdot 5^{x + 1} .

Решение

Иначе говоря, условие задачи можно переформулировать так: при каких a уравнение 3 - 4a \cdot 5^x = 25^x + (1 - a) \cdot 5^{x + 1} не имеет корней на промежутке [ - 2; 0) ? После преобразований данное уравнение примет вид: 5^{2x} + (5 - a) \cdot 5^x - 3 = 0. Сделаем замену переменной t = 5^x . При этом промежуток [ - 2; 0) перейдет в \left[ \frac{1}{25}; 1 \right) , а уравнение сведется к квадратному: t^2 + (5 - a) t - 3 = 0.

Обозначим f(t) = t^2 + (5 - a) t - 3 . Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Дискриминант данного квадратного уравнения положителен при всех a , поэтому уравнение имеет два различных корня. По теореме Виета произведение корней равно - 3 , поэтому один из корней отрицателен (точно не попадает в промежуток), а другой положителен и должен лежать либо левее \frac{1}{25} , либо правее 1 . Таким образом, получаем совокупность неравенств: \left[ \begin{array}{l}

f \left( \frac{1}{25} \right) > 0, \\

f(1) \leqslant 0, \\

\end{array} \right.

\hskip-3mm\Longleftrightarrow

\left[ \begin{array}{l}

\frac{1}{625} + (5 - a) \cdot \frac{1}{25} - 3 > 0, \\

1 + (5 - a) - 3 \leqslant 0, \\

\end{array} \right.

\hskip-3mm\Longleftrightarrow

\left[ \begin{array}{l}

a < - 69,96, \\

a \geqslant 3. \\

\end{array} \right.

Ответ (- \infty; -69,96) \cup [3; + \infty) .