Исследование свойств, не требующее получения решений Часть 1: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 3.8.

Условие

Найдите все значения параметра a , для которых при каждом x из промежутка ( 4; 8] значение выражения \log_2^2 x - 8 не равно значению выражения ( 2a - 1) \log_2 x .

Решение

Можно условие задачи переформулировать так: при каких a уравнение ( 2a - 1) \log_2 x = ( 2a - 1) \log_2 x не имеет корней на промежутке ( 4; 8] ?

Сделаем замену переменной t = \log_2 x . При этом промежуток ( 4; 8] перейдет в (2;3] , а уравнение сведется к квадратному: t^2 + (2a-1) t - 8 = 0. Обозначим f(t) =t^2 + (2a-1) t - 8 . Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Дискриминант данного квадратного уравнения D=(2a-1)^2+8>0 при всех a , поэтому уравнение имеет два различных корня. По теореме Виета произведение корней равно - 8 , поэтому один из корней отрицателен (точно не попадает в промежуток), а другой положителен и должен лежать либо левее 2 , либо правее 3 . Таким образом, получаем совокупность неравенств: \left[ \begin{array}{l}

f \left( 2\right) \ge 0, \\

f(3) < 0, \\

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow

\left[ \begin{array}{l}

4-(2a-1)\cdot 2-8\ge 0 , \\

9-(2a-1)\cdot 3-8< 0, \\

\end{array} \right.

\hskip-3mm\Longleftrightarrow

\left[ \begin{array}{l}

-2a-2 \ge 0, \\

-6a+4<0. \\

\end{array} \right. Отсюда получаем ответ.

Ответ \left( - \infty; - 0,5 \right] \cup \left( \frac{2}{3}; + \infty \right) .

Пример 3.9.

Условие

Даны два уравнения \log_5 \left( x(p^2+6) \right) = p+5-2x \quad и \quad x+\frac{3}{x}=\frac{x^2(5p+1)+(4-3p)x+3}{x(3p+2)}. Значение параметра p выбирается так, что 3p+2\ne 0 и число различных корней первого уравнения равно сумме числа p-3 и числа различных корней второго уравнения. Решите первое уравнение при каждом значении параметра, выбранного таким образом.

Решение

Очевидно, что для первого уравнения должно выполняться условие x>0 , а для второго - условие x\ne 0 . Теперь рассмотрим второе уравнение. Умножим обе его части на x(3p+2)\ne 0 . Тогда после приведения подобных членов получим квадратное уравнение относительно x : x^2(2p-1)+(4-3p)x-9p-3=0. Отметим, что p - целое число, так как по условию число различных корней первого уравнения равно сумме числа p-3 и числа различных корней второго уравнения (число корней уравнения не может быть дробным). Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения: \begin{array}{l}

D=(4-3p)^2+4\cdot 3\cdot (2p-1)(3p+1 )= \\

\qquad\qquad\qquad\qquad = 81p^2-36p+4=(9p-2)^2 \geqslant 0.

\end{array} Возможны два случая: D=0 или D>0 . Если D=0 , то решение одно, но этот случай соответствует p=\frac{2}{9} , а такое значение параметра тоже не подходит, оно не целое число. В остальных случаях D>0 , следовательно, второе уравнение имеет два различных решения.

Тогда число решений первого уравнения p-3+2=p-1 .

Теперь рассмотрим первое уравнение. Логарифмическая функция в левой части - возрастающая, а линейная функция в правой части - убывающая. Следовательно, по свойству монотонных функций уравнение может иметь только одно решение. Таким образом, получаем 1=p-1 \Longleftrightarrow p = 2 .

Тогда первое уравнение для значения p=2 имеет вид \log_5 {(10x)}=7-2x, и его решение x=\frac{5}{2} , которое найдено подбором, единственно.

Ответ \frac{5}{2} .

В задачах на исследование количества решений часто используются графические методы. Однако начнем мы с аналитического способа.

Пример 3.10.

Условие

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение \log_{a-6,5}\left(x^2+1\right)=\log_{a-6,5}\left((a-5)\cdot x\right) имеет два различных решения.

Решение

При выполнении условий a-6,5>0 и a-6,5\ne 1 из равенства логарифмов следует равенство их аргументов, поскольку логарифмическая функция является монотонной: \log_{a-6,5}\left(x^2+1\right)=\log_{a-6,5}\left((a-5)\cdot x\right)\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}

0<x^2+1=(a-5)\cdot x, \\

a-6,5>0,\\

a-6,5\ne 1,

\end{array}} \right.\Longleftrightarrow

\left\{ {\begin{array}{l}

x^2-(a-5)x+1=0, \\

a>6,5,\\

a\ne 7,5.\\

\end{array}} \right. Отметим, что условие x^2 + 1 > 0 выполнено при всех x , поэтому из равенства x^2 + 1 = (a - 5) \cdot x следует, что (a - 5) \cdot x > 0 . Тогда на решениях уравнения последней системы определены все логарифмы, входящие в исходное уравнение.

Квадратное уравнение в последней системе имеет два различных решения, если его дискриминант больше нуля: D=(a-5)^2-4>0\Longleftrightarrow |a-5|>2\Longleftrightarrow a\in (-\infty;3) \cup (7;+\infty). Ответ получаем с учетом дополнительных условий в системе.

Ответ (7;7,5) \cup (7,5;+\infty) .

Задача 3.11.

Условие

Найдите все значения параметра a , при которых уравнение имеет два различных решения. \log_{3-a}(x^2+2)=\log_{|a-3|}(4x+3a).

Решение

При выполнении условий 3-a>0 и 3-a\ne 1 из равенства логарифмов следует равенство их аргументов, поскольку логарифмическая функция является монотонной (|a-3|=3-a) : \log_{3-a}(x^2+2)=\log_{|a-3|}(4x+3a)\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}

x^2+2=4x+3a, \\

3-a>0,\\

3- a\ne 1,

\end{array}} \right.\Longleftrightarrow

\left\{ {\begin{array}{l}

x^2-4x+2-3a=0, \\

a<3,\\

a\ne 2.\\

\end{array}} \right. Отметим, что условие x^2 + 2 > 0 выполнено при всех x , поэтому из равенства x^2+2=4x+3a следует, что 4x+3a > 0 . Тогда на решениях уравнения последней системы определены все логарифмы, входящие в исходное уравнение.

Квадратное уравнение в последней системе имеет два различных решения, если его дискриминант больше нуля: \frac{D}{4}=2+3a>0\Longleftrightarrow a>-\frac{2}{3}. Ответ получаем с учетом дополнительных условий в системе.

Ответ \left(-\frac{2}{3};2\right)\cup(2;3) .