Исследование свойств, не требующее получения решений Часть 2: Часть 2
Математика, 11 класс
Пример 3.16. Условие При каких значениях параметра a неравенство \log_{\frac{1}{a}} \left( \sqrt{x^2 + ax + 5} + 1 \right) \cdot \log_{5} \left(x^2 + ax + 6 \right) + \log_a 3 \geqslant 0 имеет единст...
Видео
Конспект
Пример 3.16.
Условие
При каких значениях параметра a неравенство \log_{\frac{1}{a}} \left( \sqrt{x^2 + ax + 5} + 1 \right) \cdot \log_{5} \left(x^2 + ax + 6 \right) + \log_a 3
\geqslant 0 имеет единственное решение?
Решение
Обозначим t = \sqrt{x^2 + ax + 5} \geqslant 0 . Исходное неравенство примет вид: \log_{\frac{1}{a}} (t + 1) \cdot \log_5 \left( t^2 + 1 \right) + \log_a 3 \geqslant 0. 1. Рассмотрим сначала a > 1 . В этом случае при делении обеих частей неравенства на \log_a 3 > 0 знак неравенства не меняется: \begin{array}{l}
\log_{\frac{1}{a}} (t + 1) \cdot \log_5 \left( t^2 + 1 \right) + \log_a 3 \geqslant 0
\Longleftrightarrow \\
\qquad - \frac{\log_a (t + 1)}{\log_a 3} \cdot \log_5 \left( t^2 + 1 \right) + 1 \geqslant 0
\Longleftrightarrow \\
\qquad \log_3 (t + 1) \cdot \log_5 \left( t^2 + 1 \right) \leqslant 1.
\end{array} Заметим, что при t = 2 в неравенстве реализуется знак равенства. Так как при неотрицательных t в левой части стоит возрастающая функция переменной t , то логарифмическое неравенство равносильно неравенству t \leqslant 2 . Вернемся к переменной x : \begin{array}{l}
\sqrt{x^2 + ax + 5} \leqslant 2
\Longleftrightarrow
0 \leqslant x^2 + ax + 5 \leqslant 4
\Longleftrightarrow \\
\qquad \Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x^2 + ax + 1 \leqslant 0,\\
x^2 + ax + 5 \geqslant 0.\\
\end{array} \right.
\end{array} Решение первого неравенства в полученной системе будет единственным только при D = a^2 - 4 = 0\Longleftrightarrow
a = \pm 2. Так как мы рассматриваем a > 1 , подходит лишь a = 2 . Подстановкой a = 2 во второе неравенство убеждаемся, что оно выполнено для любого x , следовательно, решение существует и единственно. Покажите самостоятельно (например, с помощью графиков), что при других a > 1 нельзя получить единственное решение.
2. Пусть теперь 0 < a < 1 , тогда \log_a 3 < 0 : \begin{array}{l}
\log_{\frac{1}{a}} (t + 1) \cdot \log_5 \left( t^2 + 1 \right) + \log_a 3 \geqslant 0
\Longleftrightarrow \\
\qquad - \frac{\log_a (t + 1)}{\log_a 3} \cdot \log_5 \left( t^2 + 1 \right) + 1 \leqslant 0
\Longleftrightarrow \\
\qquad \log_3 (t + 1) \cdot \log_5 \left( t^2 + 1 \right) \geqslant 1.
\end{array} Аналогично первому случаю заключаем, что данное неравенство равносильно t \geqslant 2 . Отсюда x^2 + ax + 5 \geqslant 4
\Longleftrightarrow
x^2 + ax + 1 \geqslant 0. При 0 < a < 1 последнее неравенство выполнено для любого x , то есть при всех a из данного интервала нарушается единственность решения.
Ответ 2 .
Задача 3.17.
Условие
При каких значениях параметра a имеет ровно одно решение неравенство \log_a 5 + \log_{\frac{1}{3}} \left( \sqrt{ax^2 + 2x + 6} + 1 \right) \cdot \log_{a} \left(ax^2 + 2x + 7 \right)
\leqslant 0.
Решение
Обозначим t = \sqrt{ax^2 + 2x + 6} \geqslant 0 . Исходное неравенство примет вид: \log_a 5 + \log_{\frac{1}{3}} \left( t+ 1 \right) \cdot \log_{a} \left(t^2+1 \right)
\leqslant 0. 1. Рассмотрим сначала a > 1 . В этом случае при делении обеих частей неравенства на \log_a 5> 0 знак неравенства не меняется: \begin{array}{l}
1- \log_3 (t + 1) \cdot \log_5 \left( t^2 + 1 \right) + \log_a 3 \leqslant 0
\Longleftrightarrow \\
1 - \frac{\log_a (t^2 + 1)}{\log_a 5} \cdot \log_3 \left( t + 1 \right) \leqslant 0
\Longleftrightarrow \\
\log_3 (t + 1) \cdot \log_5 \left( t^2 + 1 \right) \geqslant 1.
\end{array} Заметим, что при t = 2 в неравенстве реализуется знак равенства. Так как при неотрицательных t в левой части стоит возрастающая функция переменной t , то логарифмическое неравенство равносильно неравенству t \geqslant 2\Longleftrightarrow ax^2 + 2x + 6\geqslant 4\Longleftrightarrow ax^2 + 2x + 2\geqslant 0. При a>1 это неравенство не даст единственного решения. 2. Пусть теперь 0 < a < 1 , тогда \log_a 5 < 0 : Вернемся к переменной x : \begin{array}{l}
\sqrt{ax^2 + 2x + 6} \leqslant 2
\Longleftrightarrow
0 \leqslant ax^2 + 2x + 6 \leqslant 2
\Longleftrightarrow \\
\qquad \Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
ax^2 + 2x + 2 \leqslant 0,\\
ax^2 + 2x + 6 \geqslant 0.\\
\end{array} \right.
\end{array} Решение первого неравенства в полученной системе будет единственным только при D =1-2a = 0\Longleftrightarrow
a = \frac{1}{ 2}. Второе неравенство при этом а верно.
Ответ \frac{1}{2} .