Исследование свойств, не требующее получения решений Часть 2: Часть 3
Математика, 11 класс
Пример 3.18. Условие Найдите все такие a , при каждом из которых уравнение \sqrt{10x^2+x-24}\cdot \log_2\left((x-3)(a+5)+14\right)=0 имеет ровно два различных корня. Решение Произведение таких двух фу...
Видео
Конспект
Пример 3.18.
Условие
Найдите все такие a , при каждом из которых уравнение \sqrt{10x^2+x-24}\cdot \log_2\left((x-3)(a+5)+14\right)=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
Произведение таких двух функций равно нулю в двух случаях: 1) уравнение \sqrt{10x^2+x-24}=0 имеет два решения, \log_2\left((x-3)(a+5)+14\right)\ne 0 ; 2) \sqrt{10x^2+x-24}=0 имеет одно решение и \log_2\left((x-3)(a+5)+14\right)=0 тоже имеет одно решение.
1) \sqrt{10x^2+x-24}=0\Longleftrightarrow 10x^2+x-24=0\Longleftrightarrow x=\frac{3}{2};x=-\frac{8}{5} . Эти решения существуют, если они входят в область определения второго множителя в уравнении: \left\{\begin{array}{l}
\left( -\frac{8}{3}-3\right)(a+5)+14>0, \\
\left(\frac{3}{2}-3\right)(a+5)+14>0,
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
a<-\frac{45}{23}, \\
a<\frac{13}{3}.
\end{array} \right. При каких a нет решений уравнения \log_2\left((x-3)(a+5)+14\right)=0 ? \log_2\left((x-3)(a+5)+14\right)=0\Longleftrightarrow x=-\frac{13}{a+5}+3. Если этот корень попадет в область \left[-\frac{8}{5};\frac{3}{2}\right] , в которой подкоренное выражение первого множителя меньше нуля, то корень надо отбросить. \left\{\begin{array}{l}
-\frac{13}{a+5}+3 \ge -\frac{8}{5}, \\
-\frac{13}{a+5}+3 \le \frac{3}{2},
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
-\frac{13}{a+5}>-\frac{23}{5}, \\
-\frac{13}{a+5}<-\frac{3}{2},
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\frac{23a +50}{a+5} \ge 0, \\
\frac{3a-11}{a+5} \le 0.
\end{array} \right. Решаем систему неравенств и получаем -\frac{50}{23} \le a \le \frac{11}{3} . Объединяя этот результат с условием существования решения \sqrt{10x^2+x-24} = 0 , получаем -\frac{50}{23} \le a<-\frac{45}{23} .
2) Сначала рассмотрим случай, когда x=\frac{3}{2} - решение, а x=-\frac{8}{5} не является решением: -\frac{40}{23}<a<\frac{13}{3} . При этом уравнение \log_2\left((x-3)(a+5)+14\right)=0 должно иметь решение: \left[\begin{array}{l}
-\frac{13}{a+5}+3 > \frac{3}{2}, \\
-\frac{13}{a+5}+3 < -\frac{8}{5},
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
a > \frac{11}{3},\\
a < -\frac{50}{23}.
\end{array} \right.
Ответ \left[ -\frac{50}{23}; -\frac{45}{23} \right)\cup \left(\frac{11}{3}; \frac{13}{3}\right) .