Сплавы и смеси Часть 2: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Василию нужно залить фундамент дачного дома, для чего ему необходимо 9,4 м³ бетона, при этом бюджет Василия ограничен суммой 50000 рублей. Известно, что для получения бетона необходимо смешать цемент с песком и щебнем, при этом чем больше объемная доля цемента в смеси, тем качественнее получается бетон и тем больше значение марки бетона.

В магазине Василий узнал, что цена цемента составляет 180 руб за 50 кг, цена песка составляет 102 руб за 50 кг, цена щебня составляет 130 руб за 40 кг, а соотношения объемов материалов для разных марок бетона указаны в таблице ниже.

3

К сожалению, часть данных в таблице была утеряна.

1. Помогите Василию заполнить пустые ячейки в таблице. Известно, что объем песка в марке бетона М400 в два раза меньше объема щебня.

2. Определите, какую наилучшую марку бетона может позволить себе Василий. Плотность цемента составляет \rho_{\text {цем }}=1200 кг/м^{3} , плотность песка - \rho_{\text {пес }}=1600 кг/м^{3} , плотность щебня - \rho_{\text {щеб }}=2100 кг/м^{3} .

Решение

Стоимость:

- 1 кг цемента \longrightarrow 3,6 руб

- 1 кг песка \longrightarrow 2,04 руб

- 1 кг щебня \longrightarrow 3,25 руб

1) M200 \left.\begin{aligned}

& V_{\text {цемента }}=1 м^3 \\

& V_{\text {песка }}=3,2 м^3 \\

& V_{\text {щебня }}=4,9 м^3

\end{aligned}\right\} \rightarrow 9,1 м^3, \quad \quad

1 м^3 \text { бетона требует } \rightarrow

\left\{\begin{aligned}

& \text {цемента } \frac{1}{9,1} м^3\\

& \text {песка } \frac{3,2}{9,1} м^3\\

& \text {щебня } \frac{4,9}{9,1} м^3

\end{aligned}\right.

Стоимость \begin{aligned}

& m_{\text {цемента }}=\rho_{\text {цем }} \cdot \frac{1}{9,1} м^3=\frac{1200}{9,1} \text { кг } \cdot 3,6 \text { руб }=474,73 \text { руб } \\

& m_{\text {песка }}=\rho_{\text {песка }} \cdot \frac{3,2}{9,1} м^3=\frac{1600 \cdot 3,2}{9,1} \text { кг } \cdot 2,04 \text { руб }=1147,78 \text { руб } \\

& m_{\text {щебня }}=\rho_{\text {щебня }} \cdot \frac{4,9}{9,1} м^3=\frac{2100 \cdot 4,9}{9,1} \text { кг } \cdot 3,25 \text { руб }=3675 \text { руб }

\end{aligned}

Итого: 5298 руб

2) M250 \left.\begin{aligned}

& V_{\text {цемента }}=1 м^3 \\

& V_{\text {песка }}=2,4 м^3 \\

& V_{\text {щебня }}=3,9 м^3

\end{aligned}\right\} \rightarrow 7,3 м^3, \quad \quad

1 м^3 \text { бетона требует } \rightarrow

\left\{\begin{aligned}

& \text {цемента } \frac{1}{7,3} м^3\\

& \text {песка } \frac{2,4}{7,3} м^3\\

& \text {щебня } \frac{3,9}{7,3} м^3

\end{aligned}\right.

Стоимость \begin{aligned}

& m_{\text {цемента }}=\frac{1200}{7,3} \text { кг } \cdot 3,6 \text { руб }=591,78 \text { руб } \\

& m_{\text {песка }}=\frac{1600 \cdot 2,4}{7,3} \text { кг } \cdot 2,04 \text { руб }=1073,1 \text { руб } \\

& m_{\text {щебня }}=\frac{2100 \cdot 3,9}{7,3} \text { кг } \cdot 3,25 \text { руб }=3646,23 \text { руб }

\end{aligned}

Итого: 5311 руб

3) M300 \left.\begin{aligned}

& V_{\text {цемента }}=1 м^3 \\

& V_{\text {песка }}=2,2 м^3 \\

& V_{\text {щебня }}=3,7 м^3

\end{aligned}\right\} \rightarrow 6,9 м^3, \quad \quad

1 м^3 \text { бетона требует } \rightarrow

\left\{\begin{aligned}

& \text {цемента } \frac{1}{6,9} м^3\\

& \text {песка } \frac{2,2}{6,9} м^3\\

& \text {щебня } \frac{3,7}{6,9} м^3

\end{aligned}\right.

Стоимость \begin{aligned}

& m_{\text {цемента }}=\frac{1200}{6,9} \text { кг } \cdot 3,6 \text { руб }=626,09 \text { руб } \\

& m_{\text {песка }}=\frac{1600 \cdot 2,2}{6,9} \text { кг } \cdot 2,04 \text { руб }=1040,70 \text { руб } \\

& m_{\text {щебня }}=\frac{2100 \cdot 3,7}{6,9} \text { кг } \cdot 3,25 \text { руб }=3659,7 \text { руб }

\end{aligned}

Итого: 5327 руб

\left.\begin{aligned}

& V_{\text {цемента }}=1 м^3 \\

& V_{\text {песка }} \\

& V_{\text {щебня }}=2V_{\text {песка }}

\end{aligned}\right\} \rightarrow 1 + 3V_{\text {п}}, \quad \quad

1 м^3 \text { бетона требует } \rightarrow

\left\{\begin{aligned}

& \text {цемента } \frac{1}{1 + 3V_{\text {п}}}\\

& \text {песка } \frac{V_{\text {п}}}{1 + 3V_{\text {п}}}\\

& \text {щебня } \frac{2V_{\text {п}}}{1 + 3V_{\text {п}}}

\end{aligned}\right.

Стоимость

\begin{aligned}

&\left.\begin{cases}

\begin{aligned}

& m_{\text {цемента }}=1200 \cdot \frac{1}{1+3 V_{\text {п }}} \cdot 3,6 \text { руб }=\frac{4320}{1+3 V_{\text {п }}} \\

& \\

& m_{\text {песка }}=1600 \cdot \frac{V_{\text {п }}}{1+3 V_{\text {п}}} \cdot 2,04 \text { руб }=\frac{3264 V_{\text {п }}}{1+3 V_{\text {п}}}=\frac{4320+16914 V_{\text {п }}}{1+3 V_{\text {п}}}\\

& \\

& m_{\text {щебня }}=2100 \cdot \frac{2 V_{\text {п}}}{1+3 V_{\text {п}}} \cdot 3,25 \text { руб }=\frac{13650 V_{\text {п }}}{1+3 V_{\text {п}}}

\end{aligned}

\end{cases}\right\} \quad \Rightarrow \\

& \\

&\Rightarrow \quad \frac{4320+16914 V_{\text {п}}}{1+3 V_{\text {п}}}=5385 \quad \Rightarrow \quad 4320+16914 V_{\text {п }}=5385+16155 V_{\text {п }} \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad 16914 V_{\text {п }}-16155 V_{\text {п}}=5385-4320 \quad \Rightarrow \quad 759 V_{\text {п}}=1065 \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad V_{\text {п}}=1,4, \quad V_{\text {щ }}=2,8

\end{aligned} Ответ 1) 1. 5298 руб; 2. 5311 руб; 3. 5327 руб; 4. 1 : 1,4 : 2,8; 2) M250.