Сплавы и смеси Часть 3: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

В домашней лаборатории экспериментатора Глюка в двух стаканах хранились две жидкости. В одном - синяя объёмом V и плотностью \rho , а в другом - красная с вдвое меньшим объёмом и неизвестной плотностью \rho_{x} . Однажды экспериментатор смешал половину синей и половину красной жидкости в колбе, получив фиолетовую смесь с плотностью \rho_{1}=4 \rho / 3 . Остатки жидкостей из стаканов он смешал во второй и третьей колбе, при этом плотность смеси во второй оказалась \rho_{2}=5 \rho / 4 .

1. Определите плотность красной жидкости \rho_{x} .

2. Найдите зависимость плотности жидкости в третьей колбе \rho_{3}(U) от объёма U смеси в ней.

3. Определите, какие максимальные и минимальные значения может принимать плотность \rho_{3} . Считайте, что объём смеси равен сумме объёмов жидкостей до смешивания.

Решение

1) Первая ситуация: - первая колба

масса = сумма масс смешанных жидкостей, объем жидк. = сумма объемов смешанных жидкостей \rho_{1}\left(\frac{V}{2}+\frac{V}{4}\right)=\frac{2 \cdot V}{2 \cdot 2} \rho+\frac{V}{4} \rho_{x} \quad \Rightarrow \quad \frac{4 \rho}{3} \cdot \frac{3 V}{4}=\frac{V}{4}\left(2 \rho+\rho_{x}\right) \quad \Rightarrow \quad 4 \rho=2 \rho+\rho_{x} \rho_{x}=2 \rho - плотность красной жидкости

2) Вторая колба: пусть объем синей жидкости во 2-ой колбе - V_{2} , а объем красной - \alpha V_{2}

V_{2 с}=V_{2}, \quad V_{2 к}=\alpha V_{2}, \quad \rho_{c}=\rho, \quad \rho_{к}=2 \rho \rho_{2}=\frac{m_{2 с}+m_{2 к}}{V_{2 с}+V_{2 к}}=\frac{\rho_{c} V_{2 с}+\rho_{к} V_{2 к}}{V_{2 с}+V_{2 к}}=\frac{\rho V_{2}+2 \rho \alpha V_{2}}{V_{2}+\alpha V_{2}}=\frac{5 \rho}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{1+2 \alpha}{1+\alpha}=\frac{5}{4} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad 4(1+2 \alpha)=5+5 \alpha \quad \Rightarrow \quad 4+8 \alpha=5+5 \alpha \quad \Rightarrow \quad 3 \alpha=1 \quad \Rightarrow \quad \alpha=\frac{1}{3} 3) Найдём зависимость плотности смеси в 3 колбе от объема смеси: \rho_{3}=\frac{m_{3 с}+m_{3 к}}{V_{3 с}+V_{3 к}}=\frac{\rho\left(\frac{V}{2}-V_{2}\right)+2 \rho\left(\frac{V}{4}-\frac{V_{2}}{3}\right)}{V_{см}} \quad (1)

Где

\begin{aligned}

& V_{см}=\frac{2 \cdot V}{2 \cdot 2}-\frac{3 \cdot V_{2}}{3 \cdot 2}+\frac{V}{4}-\frac{V_{2}}{3} \quad \Rightarrow \quad V_{см}=\frac{3 V}{4}-\frac{4 V_{2}}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{3} V_{2}=\frac{3 V}{4}-V_{см} \quad \Rightarrow \\

& \\

& \Rightarrow \quad V_{2}=\frac{9}{16} V-\frac{3}{4} V_{см} \quad (*)

\end{aligned} Подставим (*) в (1)

\begin{gathered}

\rho_{3}=\frac{\rho\left(\frac{8 \cdot V}{8 \cdot 2}-\frac{9}{16} V+\frac{3}{4} V_{см}\right)+2 \rho\left(\frac{V}{4}-\frac{1}{3}\left(\frac{9}{16} V-\frac{3}{4} V_{см}\right)\right)}{V_{см}}, \quad \frac{4 V}{4 \cdot 4}-\frac{3 V}{16}+\frac{V_{см}}{4}=\frac{V}{16}+\frac{V_{см}}{4} \\

\rho_{3}=\frac{\rho\left(-\frac{V}{16}+\frac{3}{4} V_{см}\right)+2 \rho\left(\frac{V}{16}+\frac{V_{см}}{4}\right)}{V_{см}} \\

\rho_{3}=\frac{\rho\left(-\frac{V}{16}+\frac{3 V_{см}}{4}+\frac{2 V}{16}+\frac{2 V_{см}}{4}\right)}{V_{см}} \\

\rho_{3}=\frac{\rho\left(\frac{V}{16}+\frac{5 V_{см}}{4}\right)}{V_{см}} \\

\rho_{3}=\rho\left(\frac{V}{16 V_{см}}+\frac{5}{4}\right)-\text { уравнение зависимости }

\end{gathered} Т.к. после смешивания в 1 колбе на 2 и 3 колбы синей жидкости осталось \frac{V}{2} ;

0<V_{2}<\frac{V}{2} Используя равенство (2)

Если V_{2}=0, тo V_{см}=\frac{V}{2}+\frac{V}{4}=\frac{3 V}{4} \quad (3) .

Если V_{2}=\frac{V}{2}, тo V_{см}=\frac{V}{2}-\frac{V}{2}+\frac{V}{4}-\frac{V}{6}=\frac{V}{4}-\frac{V}{6}=\frac{V}{12} \quad (4)

С учетом (3) и (4)

\frac{V}{12} \leq V_{см}<\frac{3 V}{4} Раньше закончится синяя жидкость, т.к. её льют во 2-ую колбу в 3 раза больше, чем красной.

Тогда \rho_{3} вычислим. Если V_{см} \geq \frac{V}{12}, \text { то } \rho_{3} \leq \rho\left(\frac{12}{16}+\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 4}\right)=\frac{32 \rho}{16}, т.е. \rho_{3} \leq 2 \rho.

Если V_{см}<\frac{3 V}{4}, тo

\rho_{3}>\rho\left(\frac{4}{16 \cdot 3}+\frac{5}{4}\right) \quad \Rightarrow \quad

\rho_{3}>\rho\left(\frac{1}{12}+\frac{15}{12}\right) \quad \Rightarrow \quad

\rho_{3}>\frac{4}{3} \rho \quad \Rightarrow \quad

\frac{4}{3} \rho<\rho_{3}<2 \rho Ответ 2 \rho ; \frac{4}{3} \rho<\rho_{3}<2 \rho .