Сплавы и смеси Часть 3

Задача 1 Условие В домашней лаборатории экспериментатора Глюка в двух стаканах хранились две жидкости. В одном - синяя объёмом V и плотностью $\rho$, а в другом - красная с вдвое меньшим объёмом и неизвестной плотностью $\rho_{x}$. Однажды экспериментатор смешал половину синей и половину красной жидкости в колбе, получив фиолетовую смесь с плотностью $\rho_{1}=4 \rho / 3$. Остатки жидкостей из стаканов он смешал во второй и третьей колбе, при этом плотность смеси во второй оказалась $\rho_{2}=5 \rho / 4$. 1. Определите плотность красной жидкости $\rho_{x}$. 2. Найдите зависимость плотности жидкости в третьей колбе $\rho_{3}(U)$ от объёма $U$ смеси в ней. 3. Определите, какие максимальные и минимальные значения может принимать плотность $\rho_{3}$. Считайте, что объём смеси равен сумме объёмов жидкостей до смешивания. Решение 1) Первая ситуация: - первая колба масса $=$ сумма масс смешанных жидкостей, объем жидк. = сумма объемов смешанных жидкостей $$ \rho_{1}\left(\frac{V}{2}+\frac{V}{4}\right)=\frac{2 \cdot V}{2 \cdot 2} \rho+\frac{V}{4} \rho_{x} \quad \Rightarrow \quad \frac{4 \rho}{3} \cdot \frac{3 V}{4}=\frac{V}{4}\left(2 \rho+\rho_{x}\right) \quad \Rightarrow \quad 4 \rho=2 \rho+\rho_{x} $$ $\rho_{x}=2 \rho$ - плотность красной жидкости 2) Вторая колба: пусть объем синей жидкости во 2-ой колбе - $V_{2}$, а объем красной - $\alpha V_{2}$ $$ V_{2 с}=V_{2}, \quad V_{2 к}=\alpha V_{2}, \quad \rho_{c}=\rho, \quad \rho_{к}=2 \rho $$ $$ \rho_{2}=\frac{m_{2 с}+m_{2 к}}{V_{2 с}+V_{2 к}}=\frac{\rho_{c} V_{2 с}+\rho_{к} V_{2 к}}{V_{2 с}+V_{2 к}}=\frac{\rho V_{2}+2 \rho \alpha V_{2}}{V_{2}+\alpha V_{2}}=\frac{5 \rho}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{1+2 \alpha}{1+\alpha}=\frac{5}{4} \quad \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \quad 4(1+2 \alpha)=5+5 \alpha \quad \Rightarrow \quad 4+8 \alpha=5+5 \alpha \quad \Rightarrow \quad 3 \alpha=1 \quad \Rightarrow \quad \alpha=\frac{1}{3} $$ 3) Найдём зависимость плотности смеси в 3 колбе от объема смеси: $$ \rho_{3}=\frac{m_{3 с}+m_{3 к}}{V_{3 с}+V_{3 к}}=\frac{\rho\left(\frac{V}{2}-V_{2}\right)+2 \rho\left(\frac{V}{4}-\frac{V_{2}}{3}\right)}{V_{см}} \quad (1) $$ Где $$ \begin{aligned} & V_{см}=\frac{2 \cdot V}{2 \cdot 2}-\frac{3 \cdot V_{2}}{3 \cdot 2}+\frac{V}{4}-\frac{V_{2}}{3} \quad \Rightarrow \quad V_{см}=\frac{3 V}{4}-\frac{4 V_{2}}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{3} V_{2}=\frac{3 V}{4}-V_{см} \quad \Rightarrow \\ & \\ & \Rightarrow \quad V_{2}=\frac{9}{16} V-\frac{3}{4} V_{см} \quad (*) \end{aligned} $$ Подставим (*) в (1) $$ \begin{gathered} \rho_{3}=\frac{\rho\left(\frac{8 \cdot V}{8 \cdot 2}-\frac{9}{16} V+\frac{3}{4} V_{см}\right)+2 \rho\left(\frac{V}{4}-\frac{1}{3}\left(\frac{9}{16} V-\frac{3}{4} V_{см}\right)\right)}{V_{см}}, \quad \frac{4 V}{4 \cdot 4}-\frac{3 V}{16}+\frac{V_{см}}{4}=\frac{V}{16}+\frac{V_{см}}{4} \\ \rho_{3}=\frac{\rho\left(-\frac{V}{16}+\frac{3}{4} V_{см}\right)+2 \rho\left(\frac{V}{16}+\frac{V_{см}}{4}\right)}{V_{см}} \\ \rho_{3}=\frac{\rho\left(-\frac{V}{16}+\frac{3 V_{см}}{4}+\frac{2 V}{16}+\frac{2 V_{см}}{4}\right)}{V_{см}} \\ \rho_{3}=\frac{\rho\left(\frac{V}{16}+\frac{5 V_{см}}{4}\right)}{V_{см}} \\ \rho_{3}=\rho\left(\frac{V}{16 V_{см}}+\frac{5}{4}\right)-\text { уравнение зависимости } \end{gathered} $$ Т.к. после смешивания в 1 колбе на 2 и 3 колбы синей жидкости осталось $\frac{V}{2}$; $$ 0 Используя равенство (2) Если $ V_{2}=0, $ тo $V_{см}=\frac{V}{2}+\frac{V}{4}=\frac{3 V}{4} \quad (3)$. Если $ V_{2}=\frac{V}{2}, $ тo $V_{см}=\frac{V}{2}-\frac{V}{2}+\frac{V}{4}-\frac{V}{6}=\frac{V}{4}-\frac{V}{6}=\frac{V}{12} \quad (4)$ С учетом (3) и (4) $$ \frac{V}{12} \leq V_{см} Раньше закончится синяя жидкость, т.к. её льют во 2-ую колбу в 3 раза больше, чем красной. Тогда $\rho_{3}$ вычислим. Если$ V_{см} \geq \frac{V}{12}, \text { то } \rho_{3} \leq \rho\left(\frac{12}{16}+\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 4}\right)=\frac{32 \rho}{16}, $ т.е. $ \rho_{3} \leq 2 \rho. $ Если $ V_{см} $$ \rho_{3}>\rho\left(\frac{4}{16 \cdot 3}+\frac{5}{4}\right) \quad \Rightarrow \quad \rho_{3}>\rho\left(\frac{1}{12}+\frac{15}{12}\right) \quad \Rightarrow \quad \rho_{3}>\frac{4}{3} \rho \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{3} \rho Ответ $2 \rho $; $\frac{4}{3} \rho