Линейная плотность

Задача 1 Условие: Длинная проволока состоит из трёх частей, соединённых последовательно друг за другом. Первая часть длиной в четверть от длины всей проволоки имеет линейную плотность $\lambda_1 = 30$ г/дм. Вторая часть массой в треть от массы всей проволоки имеет линейную плотность $\lambda_2$. Масса третьей части равна сумме масс первых двух. Определите среднюю линейную плотность $\lambda_{ср}$ всей проволоки. Какая минимальная линейная плотность $\lambda_2$ может быть у второй части проволоки? Решение: 1) Пусть $m, l$ – масса и длина всей проволоки. $$ \lambda_{ср} = \frac{m}{l} $$ По условию: $$ m = m_1 + m_2 + m_3 $$ $$ m_3 = m_1 + m_2 \implies m = (m_1 + m_2) + (m_1 + m_2) = 2(m_1 + m_2) $$ Также известно $m_2 = \frac{m}{3}$. $$ m = 2(m_1 + \frac{m}{3}) \implies \frac{m}{2} = m_1 + \frac{m}{3} \implies m_1 = \frac{m}{2} - \frac{m}{3} = \frac{m}{6} $$ Значит: $$ m_1 = \frac{m}{6}; \quad m_2 = \frac{m}{3}; \quad m_3 = \frac{m}{2} $$ 2) Для первой части: $$ \lambda_1 = \frac{m_1}{l_1} = \frac{m/6}{l/4} = \frac{m \cdot 4}{6 \cdot l} = \frac{2}{3} \frac{m}{l} = \frac{2}{3} \lambda_{ср} $$ Отсюда: $$ \lambda_{ср} = \frac{3 \lambda_1}{2} = \frac{30 \cdot 3}{2} = 45\,г/дм $$ 3) Анализ $\lambda_2$: $$ m_2 = \frac{m}{3} - фиксирована $$ $$ \lambda_2 = \frac{m_2}{l_2} $$ Чтобы $\lambda_2$ была минимальной, $l_2$ должна быть максимальной. Длина всей проволоки $l = l_1 + l_2 + l_3$. $l_1 = \frac{l}{4}$ (одна часть). Тогда $l_2 + l_3 = l - \frac{l}{4} = \frac{3l}{4}$. Максимальная длина $l_2$ возможна, если $l_3 \to 0$ (но масса $m_3$ фиксирована, значит $\lambda_3 \to \infty$). Теоретический предел длины $l_2 = \frac{3l}{4}$. $$ \lambda_{2(min)} = \frac{m_2}{l_{2(max)}} = \frac{m/3}{3l/4} = \frac{m \cdot 4}{l \cdot 9} = \lambda_{ср} \cdot \frac{4}{9} = 45 \cdot \frac{4}{9} = 20\,г/дм $$ Ответ: 45 г/дм; 20 г/дм