Линейная плотность: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие: Длинная проволока состоит из трёх частей, соединённых последовательно друг за другом. Первая часть длиной в четверть от длины всей проволоки имеет линейную плотность \lambda_1 = 30 г/дм. Вторая часть массой в треть от массы всей проволоки имеет линейную плотность \lambda_2 . Масса третьей части равна сумме масс первых двух. Определите среднюю линейную плотность \lambda_{ср} всей проволоки. Какая минимальная линейная плотность \lambda_2 может быть у второй части проволоки?

Решение:

1) Пусть m, l – масса и длина всей проволоки. \lambda_{ср} = \frac{m}{l} По условию: m = m_1 + m_2 + m_3 m_3 = m_1 + m_2 \implies m = (m_1 + m_2) + (m_1 + m_2) = 2(m_1 + m_2) Также известно m_2 = \frac{m}{3} . m = 2(m_1 + \frac{m}{3}) \implies \frac{m}{2} = m_1 + \frac{m}{3} \implies m_1 = \frac{m}{2} - \frac{m}{3} = \frac{m}{6} Значит: m_1 = \frac{m}{6}; \quad m_2 = \frac{m}{3}; \quad m_3 = \frac{m}{2}

2) Для первой части: \lambda_1 = \frac{m_1}{l_1} = \frac{m/6}{l/4} = \frac{m \cdot 4}{6 \cdot l} = \frac{2}{3} \frac{m}{l} = \frac{2}{3} \lambda_{ср} Отсюда: \lambda_{ср} = \frac{3 \lambda_1}{2} = \frac{30 \cdot 3}{2} = 45\,г/дм

3) Анализ \lambda_2 : m_2 = \frac{m}{3} - фиксирована \lambda_2 = \frac{m_2}{l_2} Чтобы \lambda_2 была минимальной, l_2 должна быть максимальной. Длина всей проволоки l = l_1 + l_2 + l_3 . l_1 = \frac{l}{4} (одна часть). Тогда l_2 + l_3 = l - \frac{l}{4} = \frac{3l}{4} . Максимальная длина l_2 возможна, если l_3 \to 0 (но масса m_3 фиксирована, значит \lambda_3 \to \infty ). Теоретический предел длины l_2 = \frac{3l}{4} . \lambda_{2(min)} = \frac{m_2}{l_{2(max)}} = \frac{m/3}{3l/4} = \frac{m \cdot 4}{l \cdot 9} = \lambda_{ср} \cdot \frac{4}{9} = 45 \cdot \frac{4}{9} = 20\,г/дм

Ответ: 45 г/дм; 20 г/дм