Сплавы и смеси Часть 1

Задача 1 Условие В сосуде смешали три разные жидкости, причём объём смеси оказался равным сумме объёмов жидкостей до смешивания. Плотность первой жидкости равна 400 $кг/м^3$, а её масса равна одной трети массы всего содержимого сосуда. Плотность второй жидкости равна 900 $кг/м^{3}$, а её объём составляет одну треть от объёма всего содержимого. Третья жидкость такова, что её плотность равна средней плотности всего содержимого сосуда. Найдите плотность третьей жидкости. Ответ выразите в $кг/м^3$, округлите до целого числа. Решение Согласно условию задачи и закону сохранения массы $$ \begin{gathered} V=V_{1}+V_{2}+V_{3}, \quad m=m_{1}+m_{2}+m_{3} \\ \rho_{3}=\frac{m}{V}=\rho_{ср}, \quad m_{2}=\rho_{2} V_{2}=\rho_{2} \frac{V}{3} \end{gathered} $$ Т.к. $$ \rho_{3}=\rho_{ср} $$ то третья жидкость не влияет на среднюю плотность содержимого и учитывая заданные соотношения масс и объёмов, получим $$ \rho_{ср}=\frac{m_{1}+m_{2}}{V_{1}+V_{2}}=\frac{\frac{m}{3}+\frac{\rho_{2} V}{3}}{\frac{m}{3 \rho_{1}}+\frac{V}{3}} $$ далее разделим числитель и знаменатель дроби на $V$ $$ \rho_{ср}=\frac{\frac{m}{3 V}+\frac{\rho_{2} V}{3 V}}{\frac{m}{3 \rho_{1} V}+\frac{V}{3 V}}=\frac{\frac{1}{3}\left(\rho_{ср}+\rho_{2}\right)}{\frac{1}{3}\left(\frac{\rho_{ср}}{\rho_{1}}+1\right)}=\frac{\left(\rho_{ср}+\rho_{2}\right) \rho_{1}}{\left(\rho_{ср}+\rho_{1}\right)} $$ (учтено, что $\rho_{ср}=\frac{m}{V}$) $$ \begin{aligned} &\rho_{ср}\left(\rho_{ср}+\rho_{1}\right)=\left(\rho_{ср}+\rho_{2}\right) \rho_{1} \quad \Rightarrow \quad \rho_{ср}^{2}+\rho_{ср} \rho_{1}=\rho_{ср} \rho_{1}+\rho_{2} \rho_{1} \quad \Rightarrow \quad \rho_{ср}^{2}=\rho_{2} \rho_{1} \quad \Rightarrow \\ &\Rightarrow \quad \rho_{ср}=\sqrt{\rho_{2} \rho_{1}} \quad \Rightarrow \quad \rho_{\text {ср }}=\sqrt{400 кг/м^{3} \cdot 900 кг/м^{3}}=20 \cdot 30 кг/м^{3}=600 кг/м^{3} \end{aligned} $$ Ответ 600 кг/м ${ }^{3}$ Задача 2 Условие При производстве конфет в сосуд объёмом $V=16,0$ л заливают горячий белый шоколад плотностью $\rho_{1}=1,20$ $г/см^3$. Когда сосуд заполняется на $60 \ Решение 1) Масса белого шоколада: $$ m_{\text {бел }}=\rho_{\text {бел }} V_{\text {бел }} \quad \Rightarrow \quad m_{\text {бел }}=1,2 г/см^{3} \cdot 16000 см^{3} \cdot 0,6=11520 \text { г } $$ 2) Объем карамели $$ V_{\text {кар }}=M \cdot t $$ 3) Масса карамели $$ \begin{aligned} & m_{\text {кар }}=\rho_{\text {кар }} \cdot V_{\text {кар }} \quad \Rightarrow \quad m_{\text {кар }}=\rho_{\text {кар }} \cdot m \cdot t \quad \Rightarrow \\ & \Rightarrow \quad m_{\text {кар }}=1,52 г/см^{3} \cdot 10 см^{3} / с \cdot t \quad \Rightarrow \quad m_{\text {кар }}=15,2 г/с \cdot t \end{aligned} $$ 4) Формула средней плотности $$ \begin{aligned} &\rho_{\text {ср }}=\frac{m_{\text {бел }}+m_{\text {кар }}}{V_{\text {бел }}+V_{\text {кар }}} \quad \Rightarrow \quad 1,1 \rho_{1}=\frac{11520 г +15,2 г/с \cdot t}{9600 см^{3}+10 см^{3} / с \cdot t} \quad \Rightarrow \\ &\Rightarrow \quad 1,1 \cdot 1,2(9600+10 t)=11520 г+15,2 t \quad \Rightarrow \quad 12672+13,2 t=11520+15,2 t \quad \Rightarrow \\ &\Rightarrow \quad 12672-11520=15,2 t-13,2 t \quad \Rightarrow \quad 1152=2 t \quad \Rightarrow \quad t=\frac{1152}{2}=576 с=9,6 \text { мин } \end{aligned} $$ Проверим возможность ответа: $$ V_{2}=V_{\text {кар }}=0,6 \frac{ л }{\text { мин }} \cdot 9,6 \text { мин }=5,76 \text { л } $$ В сосуде было свободное место $$ V_{\text {своб }}=V-V_{\text {бел }}=0,4 V=0,4 \cdot 16 \text { л }=6,4 \text { л } $$ Карамель не выливалась Ответ 9,6 мин