Плотность

Задача 1 Условие Бочку массой $m=30$ кг и объёмом V=1 $м^3$ заполнили стальными деталями разной формы, а затем залили машинным маслом. Масса доверху заполненной бочки составляет $M$=5900 кг. Плотность масла $\rho_{1}=900 кг/м^{3}$, плотность стали $\rho_{2}=8000 кг/м^{3}$. Какой объём машинного масла залили в бочку? Решение Суммарный объем $$ \begin{gathered} \text { (1) } V=V_{м}+V_{ст} \\ M = m_{м}+m_{ст}+m_{б} \\ M = V_{м} \cdot \rho_{м}+V_{ст} \cdot \rho_{ст}+m_{б} \\ \text { (2) } \rho_{м} V_{м}+\rho_{ст} V_{ст}= M -m_{б} \end{gathered} $$ Из (1) $$ V_{ст}=V-V_{м} $$ подставим в (2) $$ \begin{gathered} \rho_{м} V_{м}+\rho_{ст} V-\rho_{ст} V_{м}-m_{б} \\ V_{м}\left(\rho_{м}-\rho_{ст}\right) = M-m_{\text {б }}-\rho_{ст} V \\ V_{м}=\frac{M-m_{б}-\rho_{ст} V}{\rho_{м}-\rho_{ст}}=\frac{5900-30-8000 \cdot 1}{900-8000}=0,3 м^{3} \\ V_{ст}=V-V_{м}=1 м{3}-0,3 м^{3}=0,7 м^{3} \end{gathered} $$ Ответ $V_{м}=0,3 м^{3} ; V_{ст}=0,7 м^{3}$. Задача 2 Условие Килограмм гречи залили 3 литрами воды и сварили. Сколько воды выкипело при приготовлении каши? Считать, что вода либо выкипает, либо впитывается, целиком расходуясь на увеличение объема зерна. Плотность зерна сухой гречи $\rho_{c}=1300 кг/м^{3}$, а зерна вареной $-\rho_{в}=1100 кг/м^{3}$. Плотность воды $\rho_{0}=1000 кг/м^{3}$ Решение $$ \begin{gathered} \text { (1) } V_{\text {вар.гр }}=V_{\text {сух.гр }}+V_{\text {впит.воды }} \\ \text { (2) } M_{\text {вар.гр }}=m_{\text {гр.сух }}+m_{\text {впит.воды }} \end{gathered} $$ С другой стороны $$\text { (3) } M_{\text {вар.гр }}=\rho_{\text {вар }}{ }_{\text {гр }} \cdot V_{\text {вар.гр }}$$ Подставим (1), (2) в (3) $$ \begin{gathered} m_{\text {гр.сух }}+m_{\text {впит.воды }}=\rho_{\text {вар }}^{\text {гр }}-\left(V_{\text {сух }}+V_{\text {впит.воды }}\right) \\ m_{\text {гр.сух }}+V_{\text {впит.воды }} \cdot \rho_{\text {воды }}=\frac{m_{\text {гр.сух }}}{\rho_{\text {суу.гр }}} \cdot \rho_{\text {вар.гр }}+V_{\text {впит.воды }} \cdot \rho_{\text {вар.гр }} \\ m_{\text {гр.сух }}-m_{\text {гр.сух }} \frac{\rho_{\text {вар.гр }}}{\rho_{\text {сух.гр }}}=V_{\text {впит.воды }}\left(\rho_{\text {вар.гр }}-\rho_{\text {воды }}\right) \\ m_{\text {гр.сух }}\left(1-\frac{\rho_{\text {вар.гр }}}{\rho_{\text {сух.гр }}}\right)=V_{\text {впит.воды }}\left(\rho_{\text {вар.гр }}-\rho_{\text {воды }}\right) \\ V_{\text {впит.воды }}=\frac{m_{\text {гр.сух }}\left(1-\frac{\rho_{\text {вар.гр }}}{\rho_{\text {сух.гр }}}\right)}{\left(\rho_{\text {вар.гр }}-\rho_{\text {воды }}\right)} \\ V_{\text {впит.воды }}=\frac{1 \text { кг }\left(1-\frac{1100}{1300}\right)}{1100-1000}=0,001538 м^{3}=1,538 \text { л } \\ \Delta V_{\text {вык.воды }}=3 \text { л - 1,538 л }=1,462 \text { л } \end{gathered} $$ Ответ $\approx 1,5$ л воды выкипело.