ЗСИ: Часть 1

Задача 1

Условие

Молекула массой 5 \cdot 10^{-26} кг летит перпендикулярно стенке сосуда со скоростью 500 м/с, ударяется о стенку под углом 30^\circ к перпендикуляру и отскакивает от нее под тем же углом и с той же по модулю скоростью. Найдите изменение импульса молекулы.

Решение

Изменение импульса: \Delta \vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 . Запишем проекции на оси: \begin{aligned}

\Delta p_y &= p_{2y} - p_{1y} = m v_2 \cos\alpha - (-m v_1 \cos\alpha) = 2mv_1 \cos\alpha; \\

\Delta p_x &= p_{2x} - p_{1x} = m v_1 \sin\alpha - m v_2 \sin\alpha = 0 \quad(\text{так как } v_1 = v_2).

\end{aligned} Тогда модуль изменения импульса: \Delta p = \sqrt{\Delta p_x^2 + \Delta p_y^2} = 2mv_1 \cos\alpha. Подставляем значения: \Delta p = 2 \cdot 5 \cdot 10^{-26} \cdot 500 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8{,}5 \cdot 10^{-24} \,\, кг\cdotм/с.

Ответ 8{,}5 \cdot 10^{-24} \,\, кг \cdot м/с.

Задача 2

Условие

Тележка массой 50 кг и скорость 1 м/с движется вправо по гладкой дороге. Мальчик массой 50 кг прыгает навстречу тележке со скоростью 2 м/с. Найти модуль скорости тележки с мальчиком после прыжка мальчика.

Решение

1 Так как внешние силы по горизонтали отсутствуют ( g_x = 0 ), выполняется закон сохранения импульса (З.С.И.): m_{т}\vec{v}_{т} + M_{ч}\vec{v}_{ч} = (m_{т} + M_{ч})\vec{u}. В проекции на ось Ox , направленную вправо: m_{т}v_{т} - M_{ч}v_{ч} = -(m_{т} + M_{ч})u. (предполагаем, что итоговая скорость направлена влево, за мальчиком, так как его импульс больше). u = \frac{M_{ч}v_{ч} - m_{т}v_{т}}{m_{т} + M_{ч}} = \frac{50 \cdot 2 - 50 \cdot 1}{50 + 50} = \frac{50}{100} = 0{,}5 \, м/с.

Ответ 0{,}5

Задача 3

Условие

Граната, летящая со скоростью 15 м/с, разорвалась на два осколка массами 6 и 14 кг. Скорость большего осколка возросла до 24 м/с по направлению движения. Найти скорость и направление движения меньшего осколка.

Решение

2 Т.к. время взрыва \Delta t \to 0 , применим З.С.И.: (m_1 + m_2)\vec{v} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2. В проекции на ось Ox (по направлению движения): (m_1 + m_2)v = m_1 v_{1x} + m_2 v_2. Отсюда: v_{1x} = \frac{(m_1 + m_2)v - m_2 v_2}{m_1}; v_{1x} = \frac{(6 + 14) \cdot 15 - 14 \cdot 24}{6} = \frac{300 - 336}{6} = -6 \, м/с. Знак минус означает, что осколок полетит в сторону, противоположную первоначальному движению гранаты.

Ответ 6 м/с, против первоначального движения гранаты.