ЗСЭ Часть 2: Часть 1

Задача 1

Условие

Шайбе массой 100 г, находящейся на наклонной плоскости, сообщили скорость 4 м/с, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Шайба остановилась на расстоянии 1 м от начала движения. Угол наклона плоскости 30 ^\circ . Чему равна сила трения шайбы о плоскость?

Решение

Применим теорему об изменении кинетической энергии. Работа всех внешних сил (в данном случае работа силы трения) равна изменению полной механической энергии шайбы:

A = \Delta E. Запишем работу силы трения (угол между вектором силы и перемещением равен 180 ^\circ ) и разность энергий (в конце кинетическая энергия равна нулю):

F_{тр} \cdot S \cdot \cos 180^\circ = mgH - \frac{m v_0^2}{2}. Высота подъема H связана с пройденным путем S через синус угла наклона:

H = S \cdot \sin \alpha. Подставим высоту в уравнение энергий:

-F_{тр} \cdot S = mg S \cdot \sin \alpha - \frac{m v_0^2}{2}. Выразим искомую силу трения:

F_{тр} = \frac{m v_0^2}{2S} - mg \sin \alpha. Подставим числовые значения ( m = 0{,}1 кг):

F_{тр} = \frac{0{,}1 \cdot 16}{2} - 0{,}1 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 0{,}8 - 0{,}5 = 0{,}3\,Н. Ответ 0{,}3\,Н .

Задача 2

Условие

Дан график изменения координаты тела от времени для тела массой 2 кг. Определите максимальную кинетическую энергию тела в процессе этого движения.

1 Решение

Максимальная кинетическая энергия достигается при максимальной скорости. По графику зависимости координаты от времени скорость определяется как наклон касательной. Выберем наиболее крутой линейный участок (от t=2 до t=3 минут):

v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{1200 - 300}{(3 - 2) \cdot 60} = \frac{900}{60} = 15\,м/с. Теперь найдем максимальную кинетическую энергию:

E_к = \frac{m v^2}{2} = \frac{2 \cdot 15^2}{2} = 225\,Дж. Ответ 225\,Дж .

Задача 3

Условие

Небольшое тело покоится на горизонтальной шероховатой плоскости с коэффициентом трения о неё \mu=0,3 . На расстоянии L = 1,5 м от тела закреплена гладкая вертикальная трубка высотой H = 0,4 м, имеющая внизу плавный изгиб с отверстием в направлении тела, позволяющим ему попасть в трубку без удара. Телу сообщают такую начальную скорость в направлении трубки, чтобы тело достигло её верхнего отверстия, а затем вернулось по трубке обратно на плоскость. На каком расстоянии s от начальной точки движения в описываемом опыте тело остановится?

2 Решение

При движении вверх по гладкой трубке до остановки кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную:

mgH = \frac{m v^2}{2}. На обратном пути тело вылетает из трубки с этой же кинетической энергией. По теореме об изменении кинетической энергии работа силы трения на обратном пути (тело проходит расстояние (L - S) ) равна конечному изменению кинетической энергии:

A = \Delta E_к \quad \Rightarrow \quad F_{тр}(L - S)(-1) = 0 - \frac{m v^2}{2} = 0 - mgH. Сила трения скольжения равна:

F_{тр} = \mu N = \mu mg. Подставим силу трения в уравнение:

\mu mg (L - S) = mgH \quad \Rightarrow \quad L - S = \frac{gH}{\mu g} = \frac{H}{\mu}. Выразим искомое расстояние S :

S = L - \frac{H}{\mu}. Выполним расчет:

S = 1{,}5 - \frac{0{,}4}{0{,}3} \approx 0{,}167\,м = 16{,}7\,см. Ответ 16{,}7\,см .

Задача 4

Условие

Горизонтально расположенная невесомая пружина с жесткостью к=1000 Н/м находится в недеформированном состоянии. Один ее конец закреплен, а другой касается бруска массой M = 0{,}1 кг находящегося на горизонтальной поверхности. Брусок сдвигают, сжимая пружину, и отпускают. На какую длину \Delta x была сжата пружина, если после отпускания бруска его скорость достигла величины \upsilon= 1 м/с? Трение не учитывать.

Решение

Так как трение отсутствует, воспользуемся законом сохранения энергии. Потенциальная энергия сжатой пружины полностью переходит в кинетическую энергию бруска в момент отрыва от пружины (при прохождении положения равновесия):

\frac{k \Delta x^2}{2} = \frac{M v^2}{2}. Выразим величину сжатия пружины \Delta x :

\Delta x = \sqrt{\frac{M v^2}{k}} = v \sqrt{\frac{M}{k}}. Подставим известные значения:

\Delta x = 1 \cdot \sqrt{\frac{0{,}1}{1000}} \approx 0{,}01\,м = 1\,см. Ответ 1\,см .