ЗСЭ Часть 3: Часть 1

Задача 1

Условие

Небольшое тело массой 0,2 кг бросили вертикально вверх. На рисунке показан график зависимости кинетической энергии E_к тела от времени t в течение полета. Чему равна максимальная скорость тела в первые четыре секунды полета? Ответ выразите в метрах в секунду.

1 Решение

Из графика видно, что максимальная кинетическая энергия тела в процессе полета составляет E_{к \max} = 40\,Дж . Запишем формулу кинетической энергии:

E_{к \max} = \frac{m v_{\max}^2}{2}. Выразим из нее максимальную скорость v_{\max} :

v_{\max} = \sqrt{\frac{2 E_{к\max}}{m}}. Подставим числовые значения ( m = 0{,}2\,кг ):

v_{\max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 40}{0{,}2}} = 20\,м/с. Ответ 20\,м/с.

Задача 2

Условие

Изменение скорости тела массой 2 кг, движущегося по оси x , описывается формулой v_x = v_{0x} + a_x t , где v_{0x} = 8\,м/с , a_x = -2\,м/с^2 , t — время в секундах. Какова кинетическая энергия тела через 3 с после начала отсчета времени? (Ответ дайте в джоулях.)

Решение

Запишем уравнение зависимости скорости от времени и подставим заданные значения v_{0x} и a_x :

v_x = 8 - 2t. Вычислим скорость тела в заданный момент времени t = 3\,с :

v_x = 8 - 2 \cdot 3 = 2\,м/с. Найдем кинетическую энергию тела в этот момент, используя формулу:

E_к = \frac{m v_x^2}{2} = \frac{2 \cdot 2^2}{2} = 4\,Дж. Ответ 4\,Дж.

Задача 3

Условие

Мальчик бросил камень массой 100 г под углом к горизонту из точки A . На рисунке в некотором масштабе изображена траектория ABC полета камня.

2 Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. В точке B траектории модуль скорости камня был равен 8 м/с. Какую кинетическую энергию имел камень в точке C ? (Ответ дайте в джоулях.) Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с ^2 .

Решение

Так как сопротивление воздуха отсутствует, выполняется закон сохранения полной механической энергии. Сумма кинетической и потенциальной энергий в точке B равна энергии в точке C (где потенциальная энергия равна нулю, если принять уровень точки C за нулевой):

E_C = E_B; \quad E_C = \frac{m v_B^2}{2} + mgh_B. Из рисунка по сетке (1 клетка = 1 м) определяем высоту точки B относительно уровня точки C : h_B = 6\,м . Масса камня m = 100\,г = 0{,}1\,кг . Подставим значения:

E_C = \frac{0{,}1 \cdot 8^2}{2} + 0{,}1 \cdot 10 \cdot 6 = \frac{0{,}1 \cdot 64}{2} + 6 = 3{,}2 + 6 = 9{,}2\,Дж. Ответ 9{,}2\,Дж.

Задача 3

Условие

Пружину, соединенную с двух сторон пластинами массой m , поставили на горизонтальную площадку (см. рис.). Затем на верхнюю пластину положили груз массой M = 500 г так, что ось пружины осталась вертикальной. После этого резким ударом в горизонтальном направлении груз сбросили с пластины. Пренебрегая трением груза о пластину, определите, какой может быть масса пластины m , чтобы нижняя пластина оторвалась от площадки? Какие законы Вы используете для описания движения пружины и тел? Обоснуйте их применение к данному случаю.

3 Решение

1) Рассмотрим начальное состояние равновесия системы, когда на верхней пластине лежит груз M . Пружина сжата на величину x_1 . По второму закону Ньютона (в проекции на вертикаль):

(M + m)g = k x_1 \Rightarrow x_1 = \frac{(M + m)g}{k}. \tag{1} 2) Условие отрыва нижней пластины от площадки — сила нормальной реакции опоры обращается в ноль ( N = 0 ). В этот момент пружина растянута на величину x_2 , и сила упругости уравновешивает силу тяжести нижней пластины:

F_{упр} = mg \Rightarrow k x_2 = mg \Rightarrow x_2 = \frac{mg}{k}. \tag{2} 3) После сбрасывания груза M для замкнутой системы "пружина + верхняя пластина" выполняется закон сохранения механической энергии (диссипативные силы отсутствуют):

\frac{k x_1^2}{2} + mg(L - x_1) = \frac{k x_2^2}{2} + mg(L + x_2). Перенесем слагаемые:

\frac{k}{2}(x_1^2 - x_2^2) = mg(x_1 + x_2). Так как (x_1 + x_2) \neq 0 , разделим обе части на эту сумму:

\frac{k}{2}(x_1 - x_2) = mg. Подставим выражения (1) и (2) для деформаций:

\frac{k}{2}\left(\frac{(M + m)g}{k} - \frac{mg}{k}\right) = mg \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} Mg = mg \Rightarrow m = \frac{1}{2} M. Так как M = 0{,}5\,кг , предельная масса пластины m = 0{,}25\,кг = 250\,г . Для того чтобы отрыв произошел, масса пластины должна быть не больше этого значения.

Ответ m \leq 250\,г.