Закон сохранения импульса

Сегодня мы познакомимся с понятием импульса, законом сохранения импульса. Рассмотрим некоторое тело, обладающее массой m и движущееся со скоростью \vec{v} . Импульсом материальной точки или тела называют величину, обозначаемую буквой \vec{p} и равную произведению массы тела на скорость данного тела: \vec{p} = m \cdot \vec{v}

С учетом того, что в правой части стоит скалярная величина массы, которая умножается на векторную величину скорости, то данное произведение тоже является векторной величиной. Поэтому импульс материальной точки или импульс тела относится к понятию векторных физических величин. А это значит, что у импульса две главных характеристики — это величина и направление.

Как же направлен импульс? Исходя из соображений математической логики получается, что вектор импульса сонаправлен с вектором скорости. То есть получается, если я захочу поставить направление импульса данного тела, то импульс данного тела направлен точно так же, как и скорость: \vec{p} \upuparrows \vec{v}

Размерность импульса, как следует из формулы для определения импульса, равна килограмм умножить на метр делить на секунду. Специального названия у этой величины нет, данное соотношение размерностей так и оставляют, то есть импульс материальной точки, импульс тела измеряется в кг \cdot м/с : [\vec{p}] = \left[ кг \cdot \frac{м}{с} \right]

Иногда импульс тела называют количеством движения. Это два равносильных понятия.

Если записать второй закон Ньютона, который гласит, что равнодействующая всех сил равна массе тела на его ускорение: \vec{F} = m\vec{a} И в правой части немного поработать с ускорением, то можно представить ускорение по определению — изменение скорости к изменению времени: \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} Умножим левую и правую часть на изменение времени \Delta t . Тогда получим: \vec{F} \cdot \Delta t = m \cdot \Delta \vec{v} \vec{F} \cdot \Delta t = m(\vec{v} - \vec{v}_0) = m\vec{v} - m\vec{v}_0

Если вспомнить определение импульса, который равен массе на скорость, то в правой части легко заметить, что стоит разность импульсов. Тогда второй закон Ньютона можно записать в следующем виде: \vec{F} \cdot \Delta t = \Delta \vec{p} Данная запись представляет собой одну из вариаций второго закона Ньютона.

Рассмотрим это соотношение. В правой части стоит изменение импульса тела. Следовательно, по логике вещей, в левой части тоже стоит импульс. Величину, равную произведению силы на время действия этой силы, называют импульсом силы. По размерности импульс силы измеряют в Н \cdot с , или по второму закону Ньютона следует, что это кг \cdot м/с : [\vec{F} \cdot \Delta t] = Н \cdot с = кг \cdot \frac{м}{с}

Очень важно понимать направление импульса, изменения импульса, силы и взаимосвязанных с ними величин. Рассмотрим на примере движение некоторой точки или некоторого тела по окружности некоторого радиуса. Пусть наше тело движется сейчас в данный момент времени со скоростью, направленной вправо. Мы с вами помним, что в этом случае тело движется с центростремительным ускорением, направленным к центру кривизны движения. В данном случае в центр, точку O .

В очень частых теоретических вопросах спрашивают направление импульса и силы. Нужно помнить, что импульс равен массе тела умножить на вектор скорости. А значит, импульс направлен точно так же, как и вектор скорости в данной точке. А вот по второму закону Ньютона, который мы уже вспоминали, сила равна массе на ускорение. И поэтому в данном случае, если нас просят поставить направление и определить направление импульса, то импульс в данной точке будет направлен по вектору скорости, а вектор силы будет направлен по вектору ускорения. Это принципиальное отличие. Но вот изменение импульса, направление изменения импульса будет сонаправлено с направлением равнодействующей силы.

1 Еще очень важное понятие — это закон сохранения импульса. Закон сохранения импульса считается одним из фундаментальных законов. Рассмотрим некоторую систему для простоты рассуждений, состоящую из двух точек. Первая точка массой m_1 , вторая точка массой m_2 . Они образуют систему. Для данной системы иногда вводят понятие центра масс. Положение центра масс определяется по теореме, которая гласит: \vec{r}_{\text{ц.м.}} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i} Данное векторное соотношение можно разложить на все три оси X , Y , Z и определить координаты центра масс.

Предположим, на данную систему действует какая-то внешняя сила \vec{F}_1 и действует некоторая сила \vec{F}_2 . Это так называемые внешние силы. Помимо всего прочего, между телами существуют внутренние силы. И тогда можно говорить о том, что на тело массой m_1 действует некоторая сила, мы ее обозначим \vec{F}_{12} — это сила на первое тело со стороны второго. Но по третьему закону Ньютона точно такая же по величине сила, но противоположная по направлению, действует и на второе тело. Мы ее обозначим \vec{F}_{21} вектор. То есть это сила, действующая на второе тело со стороны первого.

2 Тогда, используя запись второго закона Ньютона в импульсной форме, можно записать, что (\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_{12} + \vec{F}_{21}) \cdot \Delta t = \Delta \vec{p} По третьему закону Ньютона запишем: \vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21} Тогда получается, что сумма внутренних сил равна нулю.

Значит: (\vec{F}_1 + \vec{F}_2) \cdot \Delta t = \Delta \vec{p} Здесь важно отметить понимание физической природы или физического смысла данного соотношения. Получается, что в левой части стоит сумма только внешних сил, а внутренние силы в сумме дают ноль. Таким образом, только действие внешних сил способно изменить импульс системы тел.

Если же мы скажем, что сумма всех внешних сил равна нулю, то есть \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0 , то есть внешние силы не действуют, такую систему называют замкнутой. Тогда получается в левой части скобка обращается в ноль, и вся левая часть тоже обращается в ноль. А значит изменение импульса в данном случае \Delta \vec{p} равно нулю. \Delta \vec{p} = 0 Это очень важное соотношение. Если вспомнить, что изменение импульса — это импульс вектор конечного минус импульс начального, и это равно нулю, то можно записать в другом виде: что импульс 1 или начальный импульс равен импульсу второму конечному. \vec{p}_1 = \vec{p}_2 Это очень маленькое, вроде бы, соотношение на математическом языке означает достаточно глубокий физический смысл: в замкнутой системе тел импульс системы остается постоянным при любых взаимодействиях между телами системы. Напомню еще раз, что замкнутая система — это система, которая взаимодействует только между собой, между телами данной системы, и на которую не действуют внешние силы или их сумма равна нулю. Это закон сохранения импульса. Иногда его обозначают ЗСИ — закон сохранения импульса.

Рассмотрим на примере запись закона сохранения импульса. Закон сохранения импульса помогает рассматривать задачи, связанные с соударениями или взрывами. Как мы уже говорили в энергии, в задачах, или в тексте задачи, или в описании физической модели очень важно понимать суть и улавливать подсказки, помогающие определить тот или иной закон или закономерность, которые помогут решить данную задачу. Вот для закона сохранения импульса такими подсказками является описание процесса: столкновений, соударений или взрывов.

Соударения в физике делятся на два больших класса: абсолютно упругие и абсолютно неупругие.

1) Абсолютно упругий удар

Классическим примером, который можно рассматривать как модель абсолютно упругого удара, это соударение бильярдных шаров. Предположим, есть шар массой m_1 , который движется со скоростью \vec{v}_1 . Навстречу ему другой шар массой m_2 движется с некоторой скоростью \vec{v}_2 . Происходит соударение. После соударения, возможно вы замечали на примере тех же бильярдных шаров, что шары разлетаются в противоположные стороны. Предположим, что после соударения шар, обладающий массой m_1 , начал двигаться в левую сторону, его скорость обозначим \vec{v}_1' . А второе тело массы m_2 приобретает скорость \vec{v}_2' , направленную в правую сторону.

3 При данном типе соударения тела взаимодействуют только друг с другом и не взаимодействуют с внешними телами. Таким образом, система является замкнутой, а значит для нее выполним закон сохранения импульса. Мы рассматриваем систему тел, поэтому наша система в данном случае состоит из двух тел — тел m_1 и m_2 . m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2' Это достаточно распространенная модель.

2) Абсолютно неупругое взаимодействие

Второй тип соударений называют абсолютно неупругим. Классический пример, который приводят и рассматривают, говоря об абсолютно неупругом соударении, это столкновение, например, пластилинового шарика и массивного боулингового шарика. Тогда при этом столкновении пластилиновый шарик прилипает к другому, и тела после взаимодействия движутся как единое целое.

Если это изобразить графически, то можно представить ситуацию: пусть тело m движется со скоростью \vec{v}_1 и догоняет тело массы M , которое движется со скоростью \vec{v}_2 . После соударения тела слипаются и становятся единым целым, массой m малое плюс M . И движутся в правую сторону с некоторой скоростью \vec{u} .

4 В этом случае, несмотря на то что тела слиплись, они взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют с внешними телами. Таким образом, данная система тоже является замкнутой, а следовательно для нее справедлив закон сохранения импульса системы тел. Опять наша система состоит из двух тел: малого m и большого M . Тогда: m\vec{v}_1 + M\vec{v}_2 = (m + M)\vec{u}

В некоторых пособиях по физике упоминают или дают определение абсолютно неупругого взаимодействия — это такое взаимодействие, при котором тела после взаимодействия не восстанавливают первоначальную форму. Всё же более правильно говорить, что абсолютно неупругое взаимодействие — это такой тип взаимодействия, при котором сумма кинетических энергий тел не сохраняется. Отсюда можно сделать вывод, что для этого типа взаимодействия, абсолютно неупругого, часть энергии расходуется. Действительно, если говорить об энергии, то получается, что здесь есть деформация, неупругая деформация, которая часть кинетической энергии переводит во внутреннюю. Таким образом, энергия тел слева, кинетическая энергия, сумма их энергий, будет больше, чем кинетическая энергия тел справа. На задачах мы это более детально посмотрим. Но при этом всём вернусь: закон сохранения импульса выполняется и для данной системы.

Важно отметить, что закон сохранения импульса может выполняться не в векторном соотношении, а на какую-либо ось. Предположим, вернемся к первой картинке абсолютно упругого соударения и скажем, что эта ситуация происходит в поле силы тяжести, то есть введем направление ускорения свободного падения \vec{g} вниз. Тогда получается, что на каждое тело действует сила тяжести. Сила тяжести — это сила взаимодействия двух тел с телом Земли. В данном случае это внешняя сила. Если действует внешняя сила, то система не замкнута и закон сохранения импульса не выполняется. Но если я скажу, что я рассматриваю две оси X и Y , то g_x равно нулю, то есть проекция ускорения свободного падения будет ноль, а значит проекция всех сил тяжести на выбранную нами ось тоже будет равна нулю. А это значит, что по одной из осей, а именно оси X , система остается замкнутой. И тогда: p_{x \text{ до}} = p_{x \text{ после}}

Второй случай. Если система не замкнута, например, взрыв гранаты в какой-то точке. Пока происходит взрыв, осколки начинают разлетаться, и там происходит взаимодействие не только внутренними силами, но и внешними. А очень хочется использовать закон сохранения импульса. Тогда мы заметим, что в нашем случае в момент взрыва длительность взрыва очень мала, \Delta t стремится к нулю. Тогда, если обратиться к записи второго закона Ньютона, то левая часть, а это произведение всех внешних сил на время их действия, если мы говорим, что рассматриваем процесс, где длительность взрыва очень мала \Delta t \to 0 , тогда вся левая часть тоже стремится к нулю. \sum \vec{F}_{\text{внеш}} \cdot \Delta t \to 0 \quad \text{при} \quad \Delta t \to 0 А значит изменение импульса не происходит, а значит вектор импульса до взаимодействия равен вектору импульса после взаимодействия для системы тел. \vec{p}_{\text{до}} = \vec{p}_{\text{после}} Таким образом, это два случая, в которых наша модель применимости закона сохранения импульса дает достаточно хороший результат.

Итак, акцентируем внимание, что закон сохранения импульса может выполняться на одну из осей, на которых сумма всех сил, действующих со стороны внешних тел, равна нулю. И второй частный случай: когда действие внешних сил пренебрежимо мало, \Delta t устремляется к нулю, тогда произведение внешних сил на время их действия, то есть импульс внешних сил, пренебрежимо мал, то есть стремится к нулю, и изменение импульса не происходит.

Таким образом, мы с вами рассмотрели понятия импульса и закона сохранения импульса. Рассмотрели примеры абсолютно упругого удара и абсолютно неупругого удара.