ЗСЭ

Задача 2

Условие На двух легких одинаковых пружинах, соединенных нитью AB, висит груз массы m. Жесткость каждой пружины k. Между витками пружины протянули еще две нити: одну прикрепили к потолку и к верхнему концу B нижней пружины, а вторую к грузу и нижнему концу A верхней пружины. Эти две нити не провисают, но и не натянуты. Нить AB перерезали. Через некоторое время система пришла к новому положению равновесия. Найдите изменение потенциальной энергии системы.

13 Решение

14 1) Пока нить AB не пережгли (нарисована чёрным):

Ситуация развивается следующим образом: сначала подвесили груз, а потом уже привязали зелёную и красную нити. Ниточка AB - коротенькая, и её сразу подвязали, как соединительное звено между пружинами. Это становится понятно из условия, где сказано, что эти нити не провисают и не натянуты.

1) Пружины соединены последовательно: x_0 – длина нерастянутой пружины, x_1 – растяжение каждой пружины, 2l_0 = 2(x_0 + x_1) – общая длина. (1) l_0 = x_0 + x_1, mg = kx_1 x_1 = \frac{mg}{k} E_{\text{П1}} = \frac{kx_1^2}{2} + \frac{kx_1^2}{2} E_{\text{П1}} = kx_1^2 = k \frac{(mg)^2}{k^2} = \frac{(mg)^2}{k} \quad (2) (2) E_{\text{П1}} = \frac{(mg)^2}{k}

2) После пережигания нити, пружины соединены параллельно. x_0 – длина нерастянутых пружин, x_2 – растяжение каждой пружины (они снова будут одинаковыми), l_0 + x_0 + x_2 – общая длина С учётом (1): x_0 + x_1 + x_0 + x_2 = 2x_0 + x_1 + x_2 Так как mg = 2kx_2 \rightarrow x_2 = \frac{mg}{2k} x_1 = \frac{mg}{k} > x_2 = \frac{mg}{2k} значит 2l_0 = 2x_0 + 2x_1 > 2x_0 + x_1 + x_2

В случае 2): Система растянулась меньше \rightarrow увеличилась высота груза над поверхностью на: \Delta h = (2x_0 + 2x_1) - (2x_0 + x_1 + x_2) \Delta h = 2x_1 - x_1 - x_2 = x_1 - x_2 \Delta h = \frac{mg}{k} - \frac{mg}{2k} = \frac{mg}{2k} произошло изменение (увеличение) потенциальной гравитационной энергии. E_{\text{п2 упр}} = \frac{kx_2^2}{2} + \frac{kx_2^2}{2} E_{\text{п упр}} = kx_2^2 = k \cdot \frac{(mg)^2}{4k^2} E_{\text{п 1.упр}} = \frac{(mg)^2}{k} > E_{\text{п 2.упр}} = \frac{(mg)^2}{4k} \Delta E_{\text{п упр}} = E_{\text{п2упр}} - E_{\text{п1упр}} \Delta E_{\text{п упр}} = \frac{(mg)^2}{4k} - \frac{4(mg)^2}{4k} = -\frac{3(mg)^2}{4k} \Delta E_{\text{грав}} = mg\Delta h = mg \cdot \frac{mg}{2k} = \frac{(mg)^2}{2k} Итоговое изменение потенциальной энергии: \Delta E_{\text{п упр}} + \Delta E_{\text{п грав}} = -\frac{3(mg)^2}{4k} + \frac{2(mg)^2}{2 \cdot 2k} = -\frac{(mg)^2}{4k}

Ответ общая потенциальная энергия уменьшилась на \frac{(mg)^2}{4k}