Правила Кирхгофа

Задача 5

Условие

При подключении параллельного соединения двух резисторов к сети постоянного напряжения U = 220 \ в через соединение идёт ток I_1 = 0.7 \ мA. При подключении последовательного соединения тех же резисторов к той же сети через соединение начинает идти ток I_2 = 0.4 \ мA.

1) Чему равно сопротивление каждого из резисторов?

2) Какой ток I_3 будет идти через схему на рисунке при подключении к той же сети постоянного напряжения? ( R_1, \ R_2 это сопротивления первого и второго резисторов соответственно)

3) Какой резистор нужно добавить к последовательному соединению двух начальных резисторов, чтобы при подключении к той же сети постоянного напряжения, через соединение шёл ток I_4 = 0.1 \ мA.

Решение

Из формул для последовательного и параллельного соединения получим систему:

\begin{cases}

R_1 + R_2 = U/I_2 \\

\\

\displaystyle \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = U/I_1

\end{cases}; \begin{cases}

R_1 + R_2 = U/I_2 \\

\\

\displaystyle R_1 R_2 = \frac{U^2}{I_1 I_2}

\end{cases}; \begin{cases}

R_1 = U/I_2 - R_2\\

\\

\displaystyle 0 = R_2^2 - \frac{UR_2}{I_2} + \frac{U^2}{I_1 I_2}

\end{cases}; \begin{cases}

\displaystyle R_1 = \frac{U}{I_2} \frac{1 - \sqrt{1 - 4I_2/I_1}}{2}

\\

\\

\displaystyle R_2 = \frac{U}{I_2} \frac{1 + \sqrt{1 - 4I_2/I_1}}{2}

\end{cases}. Задача-обманка. Под корнем отрицательное число, значит подходящих резисторов нет и последующие вопросы лишены смысла.

Задача 6

Условие

Существует батарея с ЭДС U = 6 \ В и внутренним сопротивлением r = 1 \ кОм. Кроме того есть набор из двух резисторов R_1 = 4 \ кОм, \ R_2 = 10 \ кОм. Какой будет сила тока при подсоединении каждого из резисторов к батарее, какой будет сила тока при подсоединении последовательного соединения этих резисторов и какой будет сила тока при подсоединении параллельного соединения этих резисторов?

Решение

I_1 = U/(R_1 + r) = 1.2 \ мА. I_2 = U/(R_2 + r) = 0.55 \ мА. I_{посл} = U/(R_1 + R_2 + r) = 0.4 \ мА. I_{пар} = U/(\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + r) = 1.5 \ мА. Ответ I_1 = 1.2 \ мА ; I_2 = 0.55 \ мА ; I_{посл} = 0.4 \ мА ; I_{пар} = 1.5 \ мА.

Задача 7

Условие

Найдите силы токов, текущих через каждый из резисторов. \varepsilon = 9 \ В, \ R = 500 \ Ом.

2.03_5 Решение

Пользуясь первым правилом Кирхгофа расставим токи:

2.03_6 Запишем второе правило Кирхгофа для трёх доступных контуров

\begin{cases}

\varepsilon = 6R I_3 - 3R I_1 - R I_2 \\

\varepsilon = 3R I_1 - 3R I_2 - 2R I_3 \\

2 \varepsilon = 3R I_1 + 3R I_3 + 2R I_2

\end{cases}. Переобозначим \varepsilon/R = b:

\begin{cases}

b = -3I_1 - I_2 + 6I_3 \\

b = 3I_1 - 3I_2 - 2I_3 \\

2b = 3I_1 + 2I_2 + 3I_3

\end{cases}; \begin{cases}

2b = - 4I_2 + 4I_3 \\

3b = -I_2 + 9I_3 \\

2b = 3I_1 + 2I_2 + 3I_3

\end{cases}; \begin{cases}

\frac{23}{48} b = I_1 \\

\frac{-3}{16} b = I_2\\

\frac{5}{16} b = I_3

\end{cases}. Из этих токов простейшими арифметическими действиями выражаются токи через любой из резисторов.

Ответ I_1 = 8,6 \ мА ; I_2 = 3,4 \ мА ; 5,6 \ мА .

Задача 8

Условие

К батарее с ЭДС \varepsilon и внутренним сопротивлением r присоединено сопротивление нагрузки R . Постройте графики зависимости I(R) (сила тока в цепи от величины сопротивления-нагрузки) и U_R(R) (напряжения на резисторе-нагрузки от величины его сопротивления).

Решение

\varepsilon = I (r + R) \ \Rightarrow \ I = \frac{\varepsilon}{r + R}. Значит первый из интересующих нас графиков это гипербола с двумя асимптотами (ось R и R = -r ).

2.03_7 U_R = I R = \frac{\varepsilon R}{r + R} = \frac{\varepsilon}{r} \frac{r R}{r + R} = \frac{\varepsilon}{r} R_{пар}. Далее построение графика сводится к графику из предыдущего семинара.

Задача 9

Условие

К батарее с ЭДС \varepsilon и внутренним сопротивлением r присоединено сопротивление нагрузки R . Постройте графики зависимости I(\varepsilon) (сила тока в цепи от величины ЭДС) и U_R(\varepsilon) (напряжения на резисторе-нагрузки от величины ЭДС).

Решение

Как уже было сказано:

I = \varepsilon \frac{1}{r + R}, \ U_R = \varepsilon \frac{R}{R + r}. 2.03_8 Угловой коэффициент первого графика равен 1/(r + R), второго R/(R + r).