Трапеции. Часть 1.: Часть 4
Математика, 10 класс
Задача 2.41 Площадь трапеции ABCD равна 16 . Найдите площадь треугольника AOD , где точка O — точка пересечения диагоналей, если \displaystyle \frac{AD}{BC}=3 . Решение. Geom_s_151 Рис. 12: К задаче 2...
Видео
Конспект
Задача 2.41
Площадь трапеции ABCD равна 16 . Найдите площадь треугольника AOD , где точка O — точка пересечения диагоналей, если \displaystyle \frac{AD}{BC}=3 .
Решение.
Geom_s_151 Рис. 12: К задаче 2.41
\triangle AOD \sim \triangle BOC по двум углам.
В подобных треугольниках высоты также пропорциональны, поэтому обозначим OH_2 = h , OH_1 = 3h .
S_{ABCD} = \frac{1}{2}(BC+AD)\cdot H_1H_2 = \frac{1}{2}(x+3x)\cdot 4h = 8hx = 16 \;\Longrightarrow\; hx = 2. S_{AOD} = \frac{1}{2}\cdot 3x \cdot 3h = \frac{9}{2}\,xh = \frac{9}{2}\cdot 2 = 9. Ответ: 9.
Задача 2.42
В трапеции проведены две прямые параллельно основаниям так, что они делят трапецию на три с равными высотами. Найдите площадь средней трапеции, если площади верхней и нижней равны S_1 и S_2 .
Решение.
Geom_s_152 Рис. 13: К задаче 2.42
Обозначим площади: S_1 = \frac{a+c}{2}\,h, \qquad S = \frac{c+d}{2}\,h, \qquad S_2 = \frac{b+d}{2}\,h.
Так как A_3D_3 является средней линией трапеции ABCD и трапеции A_1A_2D_2D_1 , то A_3D_3 = \frac{a+b}{2} = \frac{c+d}{2}.
Тогда S_1 + S_2 = \frac{a+c}{2}\,h + \frac{b+d}{2}\,h
= \frac{a+b}{2}\,h + \frac{c+d}{2}\,h
= \frac{c+d}{2}\,h + \frac{c+d}{2}\,h = (c+d)\,h = 2S, откуда S = \frac{S_1 + S_2}{2}.
Ответ: \displaystyle \frac{S_1+S_2}{2} .
Теперь рассмотрим задачу, в которой есть окружность и трапеция, но окружность касается не всех сторон трапеции.
Пример 2.43
A , B , C и D — последовательные вершины прямоугольника. Окружность проходит через точки A и B и касается стороны DC в ее середине. Через точку D проведена прямая, которая касается той же окружности в точке E , а затем пересекает продолжение стороны AB в точке K . Найдите площадь трапеции BCDK , если известно, что AB = 10 и KE:KA = 3:2 .
Okr_95 Рис. 14: К примеру 2.43
Решение. Пусть KE=3a , тогда KA=2a (см. рис. 14). По теореме о касательной и секущей верно равенство KE^2=KA\cdot KB\Longleftrightarrow9a^2=2a(2a+10), откуда получаем a=4 . Тогда KE=12 , KA=8 . Далее, ED = DE = 5 как отрезки касательных, проведенных из одной точки, следовательно, KD = KE + ED = 17 . По условию ABCD — прямоугольник, поэтому \angle KAD =90^{\circ} . Тогда из прямоугольного \triangle ADK получаем \displaystyle AD=\sqrt{KD^2-KA^2}=15 . S_{BCDK}=\frac{KB+DC}{2} \cdot AD=\frac{8+10+10}{2} \cdot 15=210. Ответ: 210.