Трапеции. Часть 1.: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 2.34

В равнобокую трапецию ABCD (BC||AD) со стороной AB=4 вписана окружность. AB делится точкой касания на отрезки AK и KB , разность длин которых равна 2. Найдите, в каком отношении DK делится окружностью.

Решение.

Geom_s_146 Рис. 5: К задаче 2.34

Пусть K — точка касания окружности со стороной AB . По условию AK-KB=2 , а AK+KB=AB=4 , откуда AK=3 , KB=1 .

Так как трапеция равнобедренная и в неё вписана окружность, отрезки касательных, проведённых из одной вершины, равны. Пусть P и Q — точки касания окружности со сторонами AD и CD соответственно. Тогда AP=AK=3 и DQ=DP . По симметрии трапеции DQ=AK=3 , значит DP=3 . Следовательно, AD=AP+DP=3+3=6.

По свойству описанной трапеции AD+BC=AB+CD , то есть 6+BC=8 , откуда BC=2 .

Опустим высоту BH на AD . Тогда \displaystyle AH=\frac{AD-BC}{2}=2 , и \cos\angle A=\frac{AH}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, значит \angle A=60^{\circ} .

По теореме косинусов в \triangle ADK : KD^{2}=AD^{2}+AK^{2}-2\cdot AD\cdot AK\cdot\cos A

=36+9-2\cdot 6\cdot 3\cdot\tfrac{1}{2}=27, KD=3\sqrt{3}.

Степень точки D относительно окружности равна квадрату касательной из D : DP^{2}=3^{2}=9 . По теореме о касательной и секущей DN\cdot DK=9, откуда DN=\frac{9}{3\sqrt{3}}=\sqrt{3},

\qquad

KN=KD-DN=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}.

Следовательно, KN:ND=2\sqrt{3}:\sqrt{3}=2:1.

Ответ: \displaystyle 2:1 .

Пример 2.35

ЕГЭ-2021 тренировочный вариант, № 16.

В трапеции ABCD основания AD и BC . Диагональ AC разбивает ее на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и AB .

а) Докажите, что луч DB — биссектриса угла ADC .

б) Найдите AB , если известны длины диагоналей трапеции: BD = 24 и AC = 12,5 .

Решение.

а) По условию AC = BC , AC = CD , следовательно, BC = CD , поэтому \angle BDC = \angle CBD (рис. 6). Кроме того, \angle BDA = \angle DBC как накрест лежащие углы, следовательно, \angle ADB = \angle BDC и DB — биссектриса.

Geom_s_148 Рис. 6: К примеру 2.35

б) Проведем высоту CM в равнобедренном \triangle BCD , MD = \frac{1}{2} BD = 12 . Пусть \angle BDC = \alpha , тогда \displaystyle \cos \alpha = \frac{24}{25} . Следовательно, \displaystyle \sin \alpha = \frac{7}{25} . Рассмотрим равнобедренный \triangle ACB . Проведем высоту CN , которая также будет биссектрисой и медианой. Так как \angle CAD = \angle BCA = 2 \alpha , то \angle ACN = \alpha , AN = AC \sin \alpha = \frac{7}{2} . Следовательно, AB = 7 .

Ответ: б) 7 .

Задача 2.36

ЕГЭ-2021 тренировочный вариант, № 16.

В трапеции ABCD основания AD и BC . Диагональ AC разбивает ее на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и AB .

а) Докажите, что луч DB — биссектриса угла ADC .

б) Найдите AB , если известны длины диагоналей трапеции: BD = 16 и AC = 10 .

Решение.

Geom_s_149 Рис. 7: К задаче 2.36

\triangle BCD — равнобедренный. \angle ADC = \angle CBD = \alpha как накрест лежащие. В \triangle CHD : CH = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6 , \sin\alpha = \frac{CH}{CD} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} . В \triangle BCM : BM = BC\sin\alpha = 10 \cdot \frac{3}{5} = 6 , следовательно AB = 2\,BM = 2\cdot 6 = 12 .

Ответ: б) 12 .