Основные принципы СТО: Часть 3

Видео

Конспект

Часть 3: поведение объектов «мира Минковского».

В качестве примера описания реальных явлений с позиции СТО рассмотрим поведение релятивистских мюонов. Это элементарные частицы, во многом похожие на электроны, только более тяжелые и нестабильные - время жизни мюонов в состоянии покоя равно примерно \tau \approx 2,2 \cdot 10^{-6} с. При взаимодействии частиц, летящих от Солнца, с верхними слоями атмосферы Земли (на высотах от 10 до 30 км) такие частицы рождаются в довольно больших количествах. На первый взгляд, эти частицы не должны долетать до поверхности Земли - они движутся медленнее, чем свет (скорость которого c \approx 3 \cdot 10^{8} м/с, то есть c \tau \approx 660 м). Тем не менее их часто регистрируют в земных лабораториях. В рамках СТО объяснение этого факта состоит в том, что с точки зрения земного наблюдателя время для мюона течет медленнее, причем это замедление тем заметней, чем ближе скорость мюона к скорости света. В результате мы обнаруживаем, что движущийся относительно нас с околосветовой скоростью мюон живет намного дольше, чем покоящийся. Для количественного описания этого явления воспользуемся преобразованиями Лоренца. В СО K^{\prime} , связанной с мюоном, события «рождение» и «распад» происходят в одной точке x^{\prime}=0 , в моменты времени t_{1}^{\prime}=0 и t_{2}^{\prime}=\tau . Тогда им соответствуют моменты времени t_{1}=0 и t_{2}=\frac{\tau}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}>\tau по «земным» часам. Этот эффект носит название «релятивистского замедления времени», и благодаря ему мюон до своего распада успевает пролететь в СО, связанной с Землей, расстояние s \approx \frac{c \tau}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}>c \tau . Например, для v=0,999999 \cdot c , s \approx \frac{c \tau}{\sqrt{2 \cdot 10^{-6}}} \approx 46,66 км. Полезно рассмотреть это явление и в СО «мюон». В этой системе между рождением и распадом мюона проходит время \tau , и в это время Земля летит навстречу мюону с околосветовой скоростью. При этом расстояние между Землей и мюоном в момент его рождения (равное H в СО «Земля») определяется как разность соответствующих координат: H^{\prime}=x_{3}^{\prime}-x_{\mu}^{\prime} . При этом x_{\mu}^{\prime} \equiv x_{\mu} \equiv 0 , а x_{3}=\frac{x_{3}^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \Rightarrow H^{\prime}=H \cdot \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}<<H . Поэтому при достаточно близкой к скорости света величине скорости мюон и с этой точки зрения мюон должен долетать до Земли, так как для этого ему нужно пролететь совсем небольшое расстояние. Здесь мы замечаем еще один релятивистский эффект - «сокращение длин».

Рассмотрим еще один важный пример.

Звезды, наблюдаемые с Земли, называют «неподвижными», если они находятся на расстоянии, очень значительно превосходящем диаметр земной орбиты, так что невозможно использовать метод параллакса для определения расстояния до них. Например, если расстояние до звезды порядка миллиарда диаметров орбиты Земли (а даже в нашей Галактике есть значительно более удаленные светящиеся объекты), то изменение направления на звезду, связанное с изменением положения Земли, будет порядка 10^{-9} радиан, и измерить его явно не удастся. Однако на самом деле это направление в течении года изменяется значительно более существенно (так называемое явление астрономической аберрации) - на величину порядка 10^{-4} радиан. Это связано с изменением движения Земли. Пусть, например, в СО, связанной с Солнцем, свет от «неподвижной» звезды падает под углом \alpha к плоскости земной орбиты. Найдите изменение угла направления телескопа на звезду в положениях, кода Земля движется со скоростью v \approx 30 км/с «навстречу» фронту светового сигнала и «от» него.

Решение:

Считая орбиту Земли практически круговой, направим ось x системы координат, связанной с Солнцем, в плоскости орбиты параллельно проекциям лучей, приходящих от звезды, а ось y перпендикулярно плоскости орбиты. Тогда компоненты скорости светового сигнала по этим осям координат очевидно равны c_{x}=c \cdot \cos \alpha \quad и c_{y}=-c \cdot \sin \alpha . Используя формулы сложения скоростей, найдем, что в СО, связанной с Землей в положении, когда она движется «навстречу» световому сигналу \left(\vec{v}=-v \cdot \vec{e}_{x}\right):

image.png

\left\{\begin{array}{c}

c_{x}^{\prime}=\frac{-v+c \cdot \cos \alpha}{1-c \cdot v \cdot \cos \alpha / c^{2}}=\frac{-v+c \cdot \cos \alpha}{1-v \cdot \cos \alpha / c} \\

c_{y}^{\prime}=\frac{-c \cdot \sin \alpha \cdot \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}{1-v \cdot \cos \alpha / c}

\end{array}\right\} \Rightarrow \operatorname{tg}\left(\alpha^{\prime}\right)=-\frac{c_{y}^{\prime}}{c_{x}^{\prime}}=\frac{\sin \alpha \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}{\cos \alpha-v / c} Аналогично для противоположного движения Земли получим

\operatorname{tg}\left(\alpha^{\prime \prime}\right)=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha+v / c} \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} Так как вариацию угла \Delta \alpha \equiv \alpha^{\prime}-\alpha^{\prime \prime} явно можно считать малой, то

\Delta \alpha \approx \cos ^{2} \alpha \cdot\left[\operatorname{tg} \alpha^{\prime}-\operatorname{tg} \alpha^{\prime \prime}\right]=\frac{2 v c \cdot \sin \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha}{c^{2} \cdot \cos ^{2} \alpha-v^{2}} \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} \approx 2 \frac{v}{c} \sin \alpha (учитывая, что \frac{v}{c} \approx 10^{-4} , логично провести вычисления с точностью до величин первого порядка по этому параметру).

Звездолет движется в межзвездном пространстве по прямой с постоянной

скоростью v = 0,5·c относительно центра Галактики. В некоторый момент времени

направление на Солнце в СО, связанной с этим центром, в точности перпендикулярно курсу

корабля. Под каким углом к курсу корабля нужно направить бортовой телескоп, чтобы

увидеть Солнце в поле зрения телескопа? Ответ запишите в градусах, с точностью до

целого значения.