Основные принципы СТО и релятивистские явления.: Часть 1

Видео

Конспект

Условие

В общем виде докажите, что принцип постоянства скорости света есть следствие преобразований Лоренца (то есть что при использовании преобразований Лоренца как формул перехода от одной ИСО к другой скорость света оказывается одинакова во всех ИСО).

Решение

Преобразования Лоренца задают связь между координатами и временем событий в двух инерциальных системах отсчета (ИСО) K и K' , которые движутся относительно друг друга со скоростью \upsilon вдоль оси x :

\begin{cases}

x' = \gamma (x - \upsilon t) \\

y' = y \\

z' = z \\

t' = \gamma (t - \frac{\upsilon x}{c^2})

\end{cases} где \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}} , а c - скорость света.

Пусть в ИСО K световой сигнал распространяется вдоль оси x со скоростью c . Тогда его уравнение движения: x = ct

Подставим уравнение движения светового сигнала в преобразования Лоренца:

\begin{cases}

x' = \gamma (ct - \upsilon t) = \gamma t (c -\upsilon) \\

y' = y \\

z' = z \\

t' = \gamma (t - \frac{\upsilon ct}{c^2}) = \gamma t (1 - \frac{\upsilon}{c})

\end{cases} Найдем скорость света в ИСО K' как отношение координаты x' ко времени t' : c' = \frac{x'}{t'} = \frac{\gamma t(c - \upsilon)}{ \gamma t(1 - \frac{\upsilon}{c})} = \frac{c - \upsilon}{1 - \frac{\upsilon}{c}}

Умножим числитель и знаменатель на c : c' = \frac{c^2 - \upsilon c}{c - \upsilon} = c \frac{c - \upsilon}{c - \upsilon} = c

Мы получили, что скорость света в ИСО K' равна скорости света в ИСО K . Это означает, что скорость света постоянна во всех ИСО, что является следствием преобразований Лоренца.

Условие

Получите общую векторную формулу сложения двух скоростей \vec {\upsilon_1} и \vec {\upsilon_2}

Решение

1.1.PNG Пусть \vec{\upsilon_1} - скорость СО K' относительно K , а \vec{\upsilon_2} - скорость точки относительно K' . Тогда скорость \vec{\upsilon} относительно K соответствует сложению скоростей \vec{\upsilon_1} и \vec{\upsilon_2} . Разложим \vec{\upsilon_2} на \vec{\upsilon_{2\perp}} и \vec{\upsilon_{2\parallel}} : \vec{\upsilon_{2\parallel}} = \frac{\vec{\upsilon_1} \cdot \vec{\upsilon_2}}{\upsilon_1^2} \cdot \vec{\upsilon_1} \vec{\upsilon_{2\perp}} = \vec{\upsilon_2} - \frac{\vec{\upsilon_1}\cdot \vec{\upsilon_2}}{\upsilon_1^2} \cdot \vec{\upsilon_1} И преобразуем каждую составляющую: \vec{\upsilon_{\parallel}} = \frac{1}{1 +

\frac{\upsilon_{2\parallel} \upsilon_1}{c^2}} \cdot (\vec{\upsilon_{2\parallel}} + \vec{\upsilon_{1}}) = \frac{1}{1 +

\frac{\vec{\upsilon_1} \cdot \vec{\upsilon_2}}{c^2}} \cdot \left(\frac{\vec{\upsilon_1} \cdot \vec{\upsilon_2}}{\upsilon_1^2} \cdot \vec{\upsilon_1} + \vec{\upsilon_1}\right) \vec{\upsilon_{\perp}} = \frac{\sqrt{1 -

\frac{\upsilon_1^2}{c^2}}}{1 +

\frac{\upsilon_{2\parallel} \upsilon_1}{c^2}} \cdot\vec{\upsilon_{2\perp}} = \frac{\sqrt{1 - \frac{\upsilon_1^2}{c^2}}}{1 + \frac{\vec{\upsilon_1} \cdot \vec{\upsilon_2}}{c^2}} \cdot \left( \vec{\upsilon_2} - \frac{\vec{\upsilon_1}\vec{\upsilon_2}}{\upsilon_1^2} \cdot \vec{\upsilon_1} \right) \vec{\upsilon} = \vec{\upsilon_{\parallel}} + \vec{\upsilon_{\perp}} = \frac{1}{1 + \frac{\vec{\upsilon_1} \cdot \vec{\upsilon_2}}{c^2}} \cdot \left( \vec{\upsilon_1} + \sqrt{1 - \frac{\upsilon_1^2}{c^2}} \cdot \vec{\upsilon_2} + \frac{\vec{\upsilon_1} \cdot \vec{\upsilon_2}}{\upsilon_1^2} \cdot \vec{\upsilon_1} \cdot \left[1 - \frac{\upsilon_1^2}{c^2} \right] \right)

Если пренебречь слагаемыми порядка \frac{\upsilon_1^2}{c^2} , то \vec{\upsilon} \simeq \vec{\upsilon_1} + \vec{\upsilon_2}

Ответ

Условие

Получите формулу «поперечного» эффекта Доплера (то есть изменения частоты при движении источника со скоростью \upsilon_{\perp} без изменения расстояния до приемника).

Решение

Если источник света движется вокруг неподвижного приемника в вакууме, расстояние между ними остается неизменным. В этой ситуации проявляется только эффект замедления времени, то есть: T = \gamma T_0 \Rightarrow \upsilon = \frac{1}{\gamma} \upsilon_0 = \upsilon_0 \sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}

Ответ

Найдите, под каким углом к вертикали следует расположить телескоп, чтобы увидеть

источник света, движущийся относительно телескопа горизонтально со скоростью \ds v = 0{,}5 \cdot c

в тот момент, когда он проходит точно «над» телескопом. Ответ укажите в градусах.