Основные принципы СТО и релятивистские явления.: Часть 2

Видео

Конспект

Условие

Стержень $AB$ движется с постоянной скоростью вдоль очень длинной линейки. Если одновременно определить координаты концов стержня в СО, связанной с линейкой, то разность этих координат $\Delta x \equiv x_A - x_B = 0,9$ м. Если в СО, связанной со стержнем, одновременно определить отметки на шкале той же линейки, напротив которых находятся концы стержня, то $\Delta\widetilde{x} \equiv \widetilde{x}_A - \widetilde{x}_B = 2,5$ м. Найти скорость стержня относительно линейки и его длину в системе покоя.

Решение

С учетом эффекта релятивистского сокращение длин: $\Delta x = \frac{1}{\gamma} L$, где $L$ - собственная длина стержня, а $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}}$

При этом $L = \frac{1}{\gamma} \Delta \widetilde{x} \Rightarrow \Delta \widetilde{x} = \gamma L $

Поделив $\Delta \widetilde{x} = \gamma L$ на $\Delta x = \frac{1}{\gamma} L$ получим: $$\frac{\Delta \widetilde{x}}{\Delta x} = \frac{\gamma L}{\frac{1}{\gamma} L} = \gamma^2 =\frac{2,5}{0,9} =\frac{25}{9} \Rightarrow 1 - \frac{\upsilon^2}{c^2} = \frac{9}{25}$$

Выразим $\upsilon$: $$1 - \frac{9}{25} = \frac{\upsilon^2}{c^2}$$ $$\frac{16}{25} = \frac{\upsilon^2}{c^2} \Rightarrow \upsilon = \sqrt{\frac{16}{25}\cdot c^2} = \frac{4}{5} c$$

Теперь найдем $L$: $$\Delta x = \frac{L}{\gamma} \Rightarrow L = \gamma \Delta x = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}} \Delta x = \frac{1}{\frac{9}{25}} \cdot 0,9 =1,5м$$

Ответ $\upsilon = \frac{4}{5}c$; $L = 1,5$м.

Два прожектора, закрепленные на одной платформе, светят в противоположных направлениях (относительно платформы). С какой скоростью v платформа должна двигаться относительно инерциального наблюдателя в направлении, перпендикулярном узким световым пучкам прожекторов, чтобы для наблюдателя эти пучки были перпендикулярны? В ответе укажите v / c с точностью до сотых.