Релятивистская механика

Часть 1: Уравнения релятивистской механики. Обобщение уравнений движения материальной точки для релятивистского случая производится из тех соображений, что оно должно быть инвариантно относительно преобразований Лоренца, причем закон преобразования сил определяется так, чтобы сила совпадала со скоростью изменения импульса. Таким образом: $\frac{d \vec{p}}{d t}=\vec{F}$. В нерелятивистской механике импульс определяется как $\left.\vec{p}\right|_{\mu p}=m_{0} \vec{v}$, где $m_{0}$ - константа, описывающая инертность тела при низких (нерелятивистских) скоростях. В релятивистской механике инертность может зависеть от скорости, т.е. в общем случае $\vec{p}=m(v) \vec{v}$, причем $m(0)=m_{0}$. Можно заметить, что в инерциальной системе отсчета, скорость которой совпадает с мгновенной скоростью тела в данный момент времени, в окрестности этого момента скорость близка к нулю (и поэтому инертность описывается величиной $m_{0}$ ), а время этой ИСО в этой окрестности соответствует «собственному» времени частицы $\tau$, то есть $\vec{p}^{\prime}=m_{0} \frac{d \vec{r}^{\prime}}{d \tau}$. Переход в ИСО, в которой частица движется со скоростью $\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}$, дает для импульса релятивистское выражение $\vec{p}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \frac{d \vec{r}}{d t}=\frac{m_{0} \vec{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}$. Отметим, что «на самом деле» эта выкладка носит скорее характер «рассуждения» - это выражение для импульса справедливо потому, что именно оно обеспечивает релятивистскую инвариантность уравнений движения при более строгом подходе к построению релятивистской динамики. В этом выражении величина $m_{0}$ - масса покоя тела (при нулевой скорости). Можно считать, что в релятивистской механике масса тела зависит от скорости $m(v)=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}$, и тогда $\vec{p}=m \vec{v}$. Величину $m$ в таком подходе называют «импульсной массой». Однако важно четко понимать, что эта величина в СТО не является характеристикой тела - она явно зависит от выбора СТО. Инвариантной (не зависящей от выбора ИСО) мерой инертности тела в СТО следует считать массу покоя $m_{0}$, и именно ее обычно называют просто «массой» релятивистского тела. Рассмотрим, например, движение частицы под действием постоянной силы $\vec{F}=F \cdot \vec{e}_{x}$ с нулевой начальной скоростью. Уравнение движения по оси $x$ : $$ \frac{d}{d t}\left[\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right]=F \Rightarrow \frac{v}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{F}{m_{0}} t \Rightarrow v(t)=c \cdot \frac{F t}{\sqrt{m_{0}^{2} c^{2}+F^{2} t^{2}}} $$ то есть скорость тела под действием силы монотонно растет, но никогда не достигнет скорости света. Еще одно интегрирование позволяет найти закон движения: $$ x(t)=\int\limits_{0}^{t} v\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}=\frac{c}{F}\left[\sqrt{m_{0}^{2} c^{2}+F^{2} t^{2}}-m_{0} c\right] $$ Нетрудно заметить, что для малых времен $t