Основные принципы СТО и релятивистские явления.: Часть 3

Видео

Конспект

Условие

В межзвездном пространстве установлены «эталонные часы», маятником которых служит световой сигнал, бегающий между двумя параллельными абсолютно отражающими зеркалами, отражающийся от них нормально. Расстояние между зеркалами равно $L_0$. Мимо часов пролетает со скоростью $\upsilon = \beta \cdot c \hspace{3pt} (0 < \beta < 1)$ ракета. Чему равно расстояние между зеркалами эталонных часов, измеренное с помощью «линейки» на ракете? Каким будет при этом период движения сигнала по часам, установленным на ракете? Рассмотрите случаи, когда ракета движется параллельно или перпендикулярно плоскости зеркал.

Решение

Сначала рассмотрим случай перпендикулярного движения ракеты относительно зеркал. Направим ось $x$ по скорости ракеты. В СО $K$, связанной с зеркалами их координаты неизменны: x_a(t) = 0, x_n(t) = L_0

В СО $K'$: $$x_a' = \gamma (0 - \upsilon t_a ) = -\gamma \upsilon t_a$$ $$x_n' = \gamma (L_0 - \upsilon t_n ) = \gamma L_0 -

\gamma \upsilon t_n$$ $$t_a' = \gamma(t_a - \frac{\upsilon}{c^2} 0 = \gamma t_a$$ $$t_n' = \gamma(t_n - \frac{\upsilon}{c^2} L_0) = \gamma t_n - \frac{\upsilon \gamma}{c^2}$$

Таким образом: $$x_a'(t_a') = -\upsilon t_a'$$ $$x_n'(t_n') = \gamma L_0 - \upsilon (t_n' + \gamma \frac{\upsilon}{c^2} \cdot L_0) = -\upsilon t_n' + \gamma (1 - \frac{\upsilon^2}{c^2})L_0 = -\upsilon t_n' + \frac{1}{\gamma} L_0$$

При $t_a' = t_n' = t'$: $$L - x_n'(t') - x_a'(t') = \frac{L_0}{\gamma}$$

Рассмотрим событие 1 (отражение сначала от левого зеркала): t_1 = 0, x_1 = 0

и событие 3 (возвращение сигнала к левому зеркалу): t_3 = , x_3 = 0

Ясно, что $t_2' = 0$, $t_3' = \gamma \frac{2L_0}{c}$ и период движения сигнала: $$T' = t_3' - t_2' = \gamma \frac{2L_0}{c} = \gamma T_0$$

Для движения ракеты параллельно зеркалам (сигнал движется перпендикулярно оси $x$) поперечные размеры не изменяются и $L = L_0$, а замедление времени есть $T' = \gamma \frac{2L_0}{c}$

Ответ

Условие

В межзвездном пространстве расположены две станции, которые покоятся относительно друг друга. Расстояние между станциями равно $L$. На станциях установлены синхронизированные точные часы. В момент времени $t = 0$ по этим часам мимо станции 1 пролетал звездолет, двигавшийся с постоянной скоростью $\upsilon = 0,6 \cdot c$. В этот же момент на звездолете были запушены такие же часы, которые начали отсчитывать «бортовое время» $t'$ (от нуля). В какой-то более поздний момент на звездолете произошла вспышка. Свет от нее достиг обеих станций, отразился от них, и оба отраженных сигнала достигли звездолета одновременно. На каких расстояниях от станций (по шкале СО, в которой станции неподвижны) находился звездолет в момент вспышки? В какие моменты времени (по часам, установленным на станциях) происходили отражения света вспышки от станций? А в какие моменты времени происходили эти отражения по показаниям часов на звездолете? Что показывали часы звездолета в момент приема отраженных сигналов?

Решение

Пусть $t_0$ - время вспышки по часам станции. Время от вспышки до приема сигнала отраженного от станции 1: $$T = \frac{\upsilon t_0 + \upsilon t_0 + \upsilon T}{c} = \frac{2\upsilon t_0 + \upsilon T}{c}$$ $$T - \frac{2\upsilon t_0 + \upsilon T}{c} = 0$$ $$\frac{Tc - (2\upsilon t_0 + \upsilon T)}{c} = 0$$ $$Tc - 2\upsilon t_0 - \upsilon T = 0$$ $$T(c - \upsilon) - 2\upsilon t_0 = 0$$ $$T(c - \upsilon) = 2\upsilon t_0\Rightarrow T = \frac{2\upsilon t_0}{c - \upsilon} $$

Аналогично для сигнала отраженного от станции 2: $$T = \frac{2(L - \upsilon t_0)}{c + \upsilon}$$ $$\frac{2\upsilon t_0}{c - \upsilon} = \frac{2(L - \upsilon t_0)}{c + \upsilon}$$ $$2\upsilon t_0 (c + \upsilon) = 2 (L - \upsilon t_0) (c - \upsilon)$$ $$\upsilon t_0 c + \upsilon^2 t_0 = Lc - L\upsilon - \upsilon t_0 c + \upsilon^2 t_0$$ $$\upsilon t_0 c + \upsilon^2 t_0 - Lc + L\upsilon + \upsilon t_0 c - \upsilon^2 t_0 = 0$$ $$2 \upsilon t_0 c - Lc + L\upsilon = 0$$ $$2 \upsilon t_0 c = Lc - L\upsilon$$ $$2 \upsilon t_0 c = L(c - \upsilon) \Rightarrow t_0 = \frac{L(c - \upsilon)}{\upsilon c}$$

Если подставить $\upsilon = 0,6c$, то получим: $$t_0 = \frac{L(c - 0,6c)}{0,6c \cdot c} = \frac{0,4 L c}{1,2 c^2} = \frac{L}{3c}$$

Подставим $\upsilon = 0,6c$ и формулу $t_0$ в $T$: $$T = \frac{2 \cdot 0,6c}{c - 0,6c}\cdot \frac{L}{3c} = \frac{1,2c}{0,4c} \cdot \frac{L}{3c} = \frac{1,2cL}{1,2 c^2} =\frac{L}{c}$$

Полное время движения сигналов: $$t_0 + T = \frac{L}{3c} + \frac{L}{c} = \frac{L + 3L}{3c} = \frac{4L}{3c}$$

Тогда $$l_1 = \upsilon t_0 = (1 - \frac{\upsilon}{c}) \frac{L}{2} = (1 - \frac{0,6c}{c})\frac{L}{2} = 0,4c \cdot \frac{L}{2} = \frac{1}{5}L$$ $$l_2 = L - \upsilon t_0 = L - 0,6c \cdot \frac{L}{3c} = \frac{4}{5}L$$

Моменты времени отражений: $$t_1 = \frac{L}{3c} + \frac{L}{5c} = \frac{8}{15} \frac{L}{c}$$ $$t_2 = \frac{L}{3c} + \frac{4L}{5c} = \frac{17}{15} \frac{L}{c}$$

Прием сигналов произошел в точки с координатой $x = \upsilon T = 0,6c \frac{L}{c} = \frac{4}{5} L$

По часам звездолета с учетом того, что $\gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c}}} = \frac{1}{ \sqrt{1 -

\frac{0,6^2\cdot c^2}{c^2}}} = \frac{1}{ \sqrt{1 - 0,6^2}} = \frac{1}{0,8} = \frac{5}{4}$: $$t_1' = \frac{5}{4} \left( \frac{8}{15} \frac{L}{c} - \frac{\upsilon}{c^2}\cdot 0 \right) = \frac{2}{3}\frac{L}{c}$$ $$t_2' = \frac{5}{4} \left( \frac{17}{15}\frac{L}{c} - \frac{\upsilon}{c^2}L \right) = \frac{5}{4} \left( \frac{17}{15} \frac{L}{c} - \frac{0,6c}{c^2}L \right) = \frac{5}{4} \left( \frac{17}{15} \frac{L}{c} - \frac{3}{5} \frac{L}{c} \right) = \frac{2}{3} \frac{L}{c}$$ $$t_1' = t_2'$$ $$t' = \frac{5}{4} \left( \frac{4}{3} \frac{L}{c} - \frac{\upsilon}{c^2} \frac{4L}{5} \right) = \frac{5}{4} \left( \frac{4}{3} \frac{L}{c} - \frac{0,6c}{c^2} \frac{4L}{5} \right) = \frac{5}{4} \left( \frac{4}{3} \frac{L}{c} - \frac{3}{5c} \frac{4L}{5} \right) =

\frac{5}{4} \left( \frac{64L}{75c} \right) = \frac{16L}{15c}$$

Ответ $l_1 = \frac{1}{5}L$, $l_2 = \frac{4}{5}L$; $t_1 = \frac{8}{15} \frac{L}{c}$, $t_2 = \frac{17}{15} \frac{L}{c}$; $t_1'= t_2' = \frac{2}{3} \frac{L}{c}$; $t' = \frac{16}{15} \frac{L}{c}$.

В межзвездном пространстве установлены «эталонные часы», маятником которых служит

световой сигнал, бегающий между двумя параллельными абсолютно отражающими

зеркалами, отражающийся от них нормально. Расстояние между зеркалами равно L_0 . Мимо

часов пролетает со скоростью \ds v = 0{,}7 \cdot c ракета. Скорость ракеты направлена под углом 30°

к оси часов (назовем так перпендикуляр к плоскостям зеркал). Найдите скорость сигнала

часов с точки зрения наблюдателя на ракете. В ответе укажите v / c

В межзвездном пространстве установлены «эталонные часы», маятником которых служит световой сигнал, бегающий между двумя параллельными абсолютно отражающими зеркалами, отражающийся от них нормально. Расстояние между зеркалами равно L_0 . Мимо часов пролетает со скоростью \ds v = \sqrt \frac{7}{12} \cdot c \approx 0{,}764 \cdot c ракета. Скорость ракеты направлена под углом 30° к оси часов (назовем так перпендикуляр к плоскостям зеркал). Чему равно расстояние L между зеркалами эталонных часов, измеренное с помощью «линейки» на ракете? В ответе укажите \ds L/L_0 с точностью до сотых.