Основные принципы СТО и релятивистские явления.

Условие В межзвездном пространстве установлены «эталонные часы», маятником которых служит световой сигнал, бегающий между двумя параллельными абсолютно отражающими зеркалами, отражающийся от них нормально. Расстояние между зеркалами равно $L_0$. Мимо часов пролетает со скоростью $\upsilon = \beta \cdot c \hspace{3pt} (0 Решение Сначала рассмотрим случай перпендикулярного движения ракеты относительно зеркал. Направим ось $x$ по скорости ракеты. В СО $K$, связанной с зеркалами их координаты неизменны: x_a(t) = 0, x_n(t) = L_0 В СО $K'$: $$x_a' = \gamma (0 - \upsilon t_a ) = -\gamma \upsilon t_a$$ $$x_n' = \gamma (L_0 - \upsilon t_n ) = \gamma L_0 - \gamma \upsilon t_n$$ $$t_a' = \gamma(t_a - \frac{\upsilon}{c^2} 0 = \gamma t_a$$ $$t_n' = \gamma(t_n - \frac{\upsilon}{c^2} L_0) = \gamma t_n - \frac{\upsilon \gamma}{c^2}$$ Таким образом: $$x_a'(t_a') = -\upsilon t_a'$$ $$x_n'(t_n') = \gamma L_0 - \upsilon (t_n' + \gamma \frac{\upsilon}{c^2} \cdot L_0) = -\upsilon t_n' + \gamma (1 - \frac{\upsilon^2}{c^2})L_0 = -\upsilon t_n' + \frac{1}{\gamma} L_0$$ При $t_a' = t_n' = t'$: $$L - x_n'(t') - x_a'(t') = \frac{L_0}{\gamma}$$ Рассмотрим событие 1 (отражение сначала от левого зеркала): t_1 = 0, x_1 = 0 и событие 3 (возвращение сигнала к левому зеркалу): t_3 = , x_3 = 0 Ясно, что $t_2' = 0$, $t_3' = \gamma \frac{2L_0}{c}$ и период движения сигнала: $$T' = t_3' - t_2' = \gamma \frac{2L_0}{c} = \gamma T_0$$ Для движения ракеты параллельно зеркалам (сигнал движется перпендикулярно оси $x$) поперечные размеры не изменяются и $L = L_0$, а замедление времени есть $T' = \gamma \frac{2L_0}{c}$ Ответ Условие В межзвездном пространстве расположены две станции, которые покоятся относительно друг друга. Расстояние между станциями равно $L$. На станциях установлены синхронизированные точные часы. В момент времени $t = 0$ по этим часам мимо станции 1 пролетал звездолет, двигавшийся с постоянной скоростью $\upsilon = 0,6 \cdot c$. В этот же момент на звездолете были запушены такие же часы, которые начали отсчитывать «бортовое время» $t'$ (от нуля). В какой-то более поздний момент на звездолете произошла вспышка. Свет от нее достиг обеих станций, отразился от них, и оба отраженных сигнала достигли звездолета одновременно. На каких расстояниях от станций (по шкале СО, в которой станции неподвижны) находился звездолет в момент вспышки? В какие моменты времени (по часам, установленным на станциях) происходили отражения света вспышки от станций? А в какие моменты времени происходили эти отражения по показаниям часов на звездолете? Что показывали часы звездолета в момент приема отраженных сигналов? Решение Пусть $t_0$ - время вспышки по часам станции. Время от вспышки до приема сигнала отраженного от станции 1: $$T = \frac{\upsilon t_0 + \upsilon t_0 + \upsilon T}{c} = \frac{2\upsilon t_0 + \upsilon T}{c}$$ $$T - \frac{2\upsilon t_0 + \upsilon T}{c} = 0$$ $$\frac{Tc - (2\upsilon t_0 + \upsilon T)}{c} = 0$$ $$Tc - 2\upsilon t_0 - \upsilon T = 0$$ $$T(c - \upsilon) - 2\upsilon t_0 = 0$$ $$T(c - \upsilon) = 2\upsilon t_0\Rightarrow T = \frac{2\upsilon t_0}{c - \upsilon} $$ Аналогично для сигнала отраженного от станции 2: $$T = \frac{2(L - \upsilon t_0)}{c + \upsilon}$$ $$\frac{2\upsilon t_0}{c - \upsilon} = \frac{2(L - \upsilon t_0)}{c + \upsilon}$$ $$2\upsilon t_0 (c + \upsilon) = 2 (L - \upsilon t_0) (c - \upsilon)$$ $$\upsilon t_0 c + \upsilon^2 t_0 = Lc - L\upsilon - \upsilon t_0 c + \upsilon^2 t_0$$ $$\upsilon t_0 c + \upsilon^2 t_0 - Lc + L\upsilon + \upsilon t_0 c - \upsilon^2 t_0 = 0$$ $$2 \upsilon t_0 c - Lc + L\upsilon = 0$$ $$2 \upsilon t_0 c = Lc - L\upsilon$$ $$2 \upsilon t_0 c = L(c - \upsilon) \Rightarrow t_0 = \frac{L(c - \upsilon)}{\upsilon c}$$ Если подставить $\upsilon = 0,6c$, то получим: $$t_0 = \frac{L(c - 0,6c)}{0,6c \cdot c} = \frac{0,4 L c}{1,2 c^2} = \frac{L}{3c}$$ Подставим $\upsilon = 0,6c$ и формулу $t_0$ в $T$: $$T = \frac{2 \cdot 0,6c}{c - 0,6c}\cdot \frac{L}{3c} = \frac{1,2c}{0,4c} \cdot \frac{L}{3c} = \frac{1,2cL}{1,2 c^2} =\frac{L}{c}$$ Полное время движения сигналов: $$t_0 + T = \frac{L}{3c} + \frac{L}{c} = \frac{L + 3L}{3c} = \frac{4L}{3c}$$ Тогда $$l_1 = \upsilon t_0 = (1 - \frac{\upsilon}{c}) \frac{L}{2} = (1 - \frac{0,6c}{c})\frac{L}{2} = 0,4c \cdot \frac{L}{2} = \frac{1}{5}L$$ $$l_2 = L - \upsilon t_0 = L - 0,6c \cdot \frac{L}{3c} = \frac{4}{5}L$$ Моменты времени отражений: $$t_1 = \frac{L}{3c} + \frac{L}{5c} = \frac{8}{15} \frac{L}{c}$$ $$t_2 = \frac{L}{3c} + \frac{4L}{5c} = \frac{17}{15} \frac{L}{c}$$ Прием сигналов произошел в точки с координатой $x = \upsilon T = 0,6c \frac{L}{c} = \frac{4}{5} L$ По часам звездолета с учетом того, что $\gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c}}} = \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{0,6^2\cdot c^2}{c^2}}} = \frac{1}{ \sqrt{1 - 0,6^2}} = \frac{1}{0,8} = \frac{5}{4}$: $$t_1' = \frac{5}{4} \left( \frac{8}{15} \frac{L}{c} - \frac{\upsilon}{c^2}\cdot 0 \right) = \frac{2}{3}\frac{L}{c}$$ $$t_2' = \frac{5}{4} \left( \frac{17}{15}\frac{L}{c} - \frac{\upsilon}{c^2}L \right) =...