Основные принципы СТО: Часть 2

Видео

Конспект

Часть 2: Специальная теория относительности: «новые» механика и геометрия.

Нетрудно обнаружить, что признать преобразования Лоренца «правильными» формулами перехода от одной ИСО к другой нельзя, не отказавшись от механики Ньютона! Принцип относительности Эйнштейна фактически фиксирует выбор преобразований Лоренца как более «правильной» симметрии для всей физики, и он требует отказа от теории Ньютона и построения новой (ее называют «релятивистской») механики.

Есть еще один - возможно, самый важный - аспект признания группы преобразований Лоренца «истинной» симметрией мира. Такой шаг требует еще и отказа от привычной всем евклидовой геометрии пространства (той самой, что построена на системе аксиом Евклида, где пространство однородное, изотропное и плоское, сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ и т.д.). Действительно, в «мире Евклида» расстояние между точками А и В:

$$

|A B|=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}+\left(z_{B}-z_{A}\right)^{2}}

$$

а угол при вершине А в треугольнике АВС может быть определен из соотношения

$$

\cos (\alpha)=\frac{\left(x_{B}-x_{A}\right) \cdot\left(x_{C}-x_{A}\right)+\left(y_{B}-y_{A}\right) \cdot\left(y_{C}-y_{A}\right)+\left(z_{B}-z_{A}\right) \cdot\left(z_{C}-z_{A}\right)}{|A B| \cdot|A C|}

$$

Нетрудно заметить, что разности координат двух точек (а значит, расстояния и углы), вычисленные в один момент времени, одинаковы в разных ИСО! При этом (как уже отмечалось ранее - в соответствии с формулой $t^{\prime}=t$ ) само течение времени одинаково во всех ИСО.

Геометрию мира, в которой именно преобразования Лоренца являются формулами перехода от одной ИСО к другой, назвали «геометрией Минковского». Обратимся к «событиям» (каждое из которых описывается 4 координатами: значением времени $t$ для момента его «совершения» и координатами $x, y, z$ точки пространства, в которой оно произошло) в «мире Минковского».

Рассмотрим в качестве примера небольшое тело, которое движется поступательно вдоль оси $x$ со скоростью $u_{\|}^{\prime}$ в СО $K^{\prime}$, то есть $x^{\prime}\left(t^{\prime}\right)=u_{\|}^{\prime} t^{\prime}$. Тогда

$$

\left\{\begin{array}{l}

x=\frac{x^{\prime}+v t^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{u_{\|}^{\prime}+v}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} t^{\prime} \\

t=\frac{t^{\prime}+v x^{\prime} / c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{1+u_{\|}^{\prime} v / c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} t^{\prime}

\end{array}\right\} \Rightarrow u_{\|}=\frac{x}{t}=\frac{u_{\|}^{\prime}+v}{1+u_{\|}^{\prime} v / c^{2}}

$$

Здесь мы получили закон сложения двух сонаправленных скоростей $v_{1}$ и $v_{2}$ : нужно считать, что $v_{12}=\frac{v_{1}+v_{2}}{1+v_{1} \cdot v_{2} / c^{2}}$ (нетрудно убедиться, что по этому закону величина скорости, получаемая сложением скорости света с любой другой, равна $c$ ). Для поперечных составляющих скоростей аналогичным образом можно получить, что

$$

y=y^{\prime}=u_{\perp}^{\prime} t^{\prime}=u_{\perp}^{\prime} \frac{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}{1+u_{\|}^{\prime} v / c^{2}} t \Rightarrow u_{\perp}=u_{\perp}^{\prime} \frac{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}{1+u_{\|}^{\prime} v / c^{2}}

$$

Мы обнаружили, что скорость сближения двух движущихся навстречу друг другу тел не равна сумме величин их скоростей! Ясно, что этот вывод не согласуется с евклидовой геометрией: ведь, согласно этой геометрии, если Вы сделали навстречу кому-либо два шага, а он за то же время сделал Вам навстречу три шага, то Вы с ним приблизились друг к другу на пять шагов, и никак иначе. Кроме того, в формулах преобразований Лоренца течение времени становится зависимым от координат. Поэтому два события в разных точках, одновременные по часам ИСО $K$, не будут одновременными по часам $K^{\prime}$ (говорят, что в СТО наблюдается относительность одновременности)!

Итак, помимо новой механики нам нужна и новая геометрия - геометрия Минковского. Причем это геометрия единого четырехмерного пространства-времени.

Система отсчета(СО) К' движется относительно инерциальной системы отсчета

К с постоянной скоростью v = 0,5·c в положительном направлении оси x. Небольшое тело

движется относительно "СО" К' с такой же скоростью в положительном направлении оси x',

сонаправленной с x. С какой скоростью V движется это тело относительно СО К? В ответе

укажите V/c.