Основные принципы СТО: Часть 4

Видео

Конспект

Часть 4: эффект Допплера и относительность одновременности*.

Изучим более сложные примеры того, как изменяется описание явлений в СТО по сравнению с «нерелятивистским» описанием.

Пример 1: Источник, испускающий световой сигнал частоты v , удаляется от приемника со скоростью v_{\|} по «лучу зрения». Найти частоту сигнала, принимаемого приемником (т.е. изучить продольный эффект Доплера).

Решение:

Свяжем систему отсчета K с приемником и рассмотрим два события (1 и 2): последовательное испускание источником двух «гребней» электромагнитной волны (то есть нам нужны события, происходящие с источником, разнесенные по его часам на один период испускаемого излучения). Выберем начало отсчета времени приемника так, чтобы t_{1}=0 . Ось x системы координат направим от приемнику к источнику. Пусть в момент t_{1}=0 координата источника x_{1}=r . Тогда событие 2 произойдет в момент времени t_{2} в точке с координатой x_{2}=r+v t_{2} (источник сместится). Используя преобразования Лоренца, найдем, что для СО K^{\prime} , связанной с источником:

\left\{\begin{array}{c}

t_{1}^{\prime}=\gamma\left(0-\frac{v r}{c^{2}}\right)=-\gamma \frac{v r}{c^{2}} \\

t_{2}^{\prime}=\gamma\left(t_{2}-\frac{v\left(r+v t_{2}\right)}{c^{2}}\right)=\gamma t_{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)-\gamma \frac{v r}{c^{2}}

\end{array}\right\} \Rightarrow T_{0}=t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=\gamma t_{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)=\frac{t_{2}}{\gamma} ( T_{0} - период излучения по часам источника). Таким образом, t_{2}=\gamma T_{0} (мы опять столкнулись с эффектом релятивистского замедления времени). Теперь рассмотрим события 3 и 4 - прием этих же «гребней» волны приемником. Ясно, что t_{3}=\frac{r}{c} , а t_{4}=t_{2}+\frac{r+v t_{2}}{c}=\frac{r}{c}+t_{2}\left(1+\frac{v}{c}\right) . Следовательно, период принимаемого излучения

T=t_{4}-t_{3}=t_{2}\left(1+\frac{v}{c}\right)=T_{0} \sqrt{\frac{1+v / c}{1-v / c}} \Rightarrow v=v_{0} \sqrt{\frac{1-v / c}{1+v / c}} . Итак, при удалении источника частота изменяется благодаря двум эффектам: релятивистскому замедлению времени и удалению источника. Уменьшение частоты сигналов часто называют «красным» смещением.

Следующий пример посвящен очень важному для понимания СТО явлению, о котором упоминалось при анализе преобразований Лоренца - относительности одновременности.

Пример 2: Пусть у нас есть карандаш длиной L и пенал длиной l=\frac{L}{2} . Естественно, карандаш не помещается в пенал. Тем не менее, если мы направим карандаш по оси пенала с открытой крышкой со скоростью, чуть большей v=\frac{\sqrt{3}}{2} c , то благодаря эффекту релятивистского сокращения длин длина карандаша в СО K , связанной с пеналом, будет чуть меньше L^{\prime}=L \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{L}{2} . Следовательно, в момент времени, когда «острие» карандаша коснется стенки пенала, «мгновенный» затвор может захлопнуть крышку позади «конца» карандаша, и в это мгновение карандаш целиком будет находится внутри пенала. Опишите этот процесс в СО K^{\prime} , связанной с карандашом. Ведь в этой СО длина карандаша

равна L , а из-за релятивистского сокращения длина пенала l^{\prime}=l \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} \approx \frac{L}{4} , и карандаш не может поместиться в пенале. В чем же дело?

Решение:

Будем считать, что в СО K события 1 и 2 (касание острием карандаша стенки пенала и закрытие крышки) происходят в момент времени t_{1}=t_{2} \equiv 0 . Если начало координат совмещено со стенкой пенала, то x_{1}=0 и x_{2}=\frac{L}{2} . Нетрудно заметить, что по часам K^{\prime} события 1 и 2 не одновременны, и при этом (считаем, что начало координат K^{\prime} в момент t^{\prime}=0 тоже совмещено с острием карандаша и стенкой пенала): t_{1}^{\prime} \equiv 0 , t_{2}^{\prime}=\gamma\left(0+\frac{v}{c^{2}} \frac{L}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{L}{c} . При этом x_{1}^{\prime} \equiv 0 и x_{2}^{\prime}=\gamma\left(\frac{L}{2}+0\right)=L , то есть действительно острие карандаша и стенка пенала находятся в одной точке в некоторый момент времени по часам K^{\prime} , и конец карандаша и крышка пенала также «совмещаются» в некоторый момент времени, просто в K^{\prime} это разные моменты времени. При этом в любой момент времени в K^{\prime} разность координат конца и острия карандаша равна L , а разность координат стенки и крышки пенала - \frac{L}{4} (пока они не меняют состояния движения). Итак: в СО, связанной с карандашом, на него налетает пенал, и в момент времени t_{1}^{\prime}=0 стенка пенала сталкивается с острием карандаша. Крышка пенала после этого еще продолжает двигаться по закону x_{K}^{\prime}=\frac{L}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2} c t_{K}^{\prime} , и к моменту t_{2}^{\prime}=\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{L}{c} как раз «доезжает» до точки x_{2}^{\prime}=L . Что при этом «делают» стенка пенала и острие карандаша? Это уже зависит от результата их соударения (для стенки пенала моменты времени 0<t^{\prime}<\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{L}{c} соответствуют t>0 ). Если острие пробивает стенку, не теряя скорости, то в K^{\prime} стенка пенала будет ехать вслед за крышкой с той же скоростью, и в момент t_{2}^{\prime}=\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{L}{c} уже будет находиться в точке с координатой x^{\prime}=\frac{3 L}{4} . Очень любопытный вариант - если пенал «очень тяжелый», а его крышка «очень легкая», и после столкновения с задней стенкой в K карандаш «почти мгновенно» останавливается (конечно, это не вполне физичная модель, так как мы считаем скорость распространения упругих волн в карандаше бесконечно большой, но эта нефизичность сама по себе не должна влиять на согласованность картин в разных СО). Тогда после t_{1}=t_{2} \equiv 0 карандаш «очень быстро расправляется» до длины L (если считать, что крышка ему помешать не сможет - иначе надо еще дополнительно описать взаимодействии карандаша и крышки). Получается следующая картина: от острия к концу по карандашу катится «бесконечно быстрая» волна остановок, которая встречается с концом в точке x=\frac{L}{2} , и затем за «бесконечно малое» время выдвигает его из пенала до точки x=L . Итак, крышка пенала «на мгновение» захлопнулась за движущимся карандашом, а затем карандаш остановился, удлинившись при этом до своего собственного размера и «отбросил» крышку. В итоге в конце процесса мы видим покоящиеся пенал и карандаш с длинами l=\frac{L}{2} и L , острие карандаша упирается в стенку пенала, крышка которого открыта.

Как этот процесс выглядит в K^{\prime} ? Рассмотрим точку пенала с координатой 0<x<\frac{L}{2} . Остановка участка карандаша около нее происходит в момент времени t=0 , то есть в K^{\prime} , t_{0}^{\prime}=\gamma \frac{v x}{c^{2}}, \quad x_{0}^{\prime}=\gamma x . Значит, «волна остановок» движется по пеналу по закону x_{0}^{\prime}\left(t_{0}^{\prime}\right)=\frac{c^{2}}{v} t_{0}^{\prime}=\frac{2}{\sqrt{3}} c t_{0}^{\prime} , то есть с конечной (хотя и «сверхсветовой») скоростью. Эта волна «догоняет» крышку пенала в момент времени, определяемый из равенства

x_{K}^{\prime}\left(t^{\prime}\right)=x_{0}^{\prime}\left(t^{\prime}\right) \Rightarrow \frac{L}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2} c t^{\prime}=\frac{2}{\sqrt{3}} c t^{\prime} \Rightarrow t^{\prime}=\frac{\sqrt{3} L}{2 c}, то есть точно в момент t_{2}^{\prime} ! В этот момент крышка пенала совмещается с концом карандаша, и крышка захлопывается за ним. К этому моменту пенал «растягивается» от острия до конца карандаша. После этого волна «отражается» от крышки и превращается в волну «стягивания» пенала к его размеру (опять же, если взаимодействие конца карандаша и крышки не помешает, и крышка просто откроется от удара об конец карандаша).Так что итоговя ситуация в K и K^{\prime} одинаковая, что неудивительно - в этой модели эти системы в конце уже совпадают, так как пенал и карандаш покоятся относительно друг друга. Как видно, процесс последовательно описывается в обеих СО, хотя и весьма по-разному.

Интересно построить «более физическое» описание, учтя конечность распространения «волны остановок» в веществе карандаша. Например, можно считать что скорость распространения этой волны в K максимальная из физически возможных, то есть равна скорости света. Тогда при t_{1} \equiv 0 t_{2}=\frac{L}{c} \neq 0 , и надо повторить все рассуждения заново.

Телескоп установлен на звездолете, движущемся в межзвездном пространстве с постоянной скоростью v = 0,5·c относительно центра Галактики. В некоторый момент времени направление на Солнце в СО, связанной с этим центром, в точности перпендикулярно курсу корабля. Под каким углом к курсу корабля нужно направить бортовой телескоп, чтобы увидеть Солнце в поле зрения телескопа? Ответ запишите в градусах, с точностью до целого значения.