Основные принципы СТО

Часть 4: эффект Допплера и относительность одновременности*. Изучим более сложные примеры того, как изменяется описание явлений в СТО по сравнению с «нерелятивистским» описанием. Пример 1: Источник, испускающий световой сигнал частоты $v$, удаляется от приемника со скоростью $v_{\|}$по «лучу зрения». Найти частоту сигнала, принимаемого приемником (т.е. изучить продольный эффект Доплера). Решение: Свяжем систему отсчета $K$ с приемником и рассмотрим два события (1 и 2): последовательное испускание источником двух «гребней» электромагнитной волны (то есть нам нужны события, происходящие с источником, разнесенные по его часам на один период испускаемого излучения). Выберем начало отсчета времени приемника так, чтобы $t_{1}=0$. Ось $x$ системы координат направим от приемнику к источнику. Пусть в момент $t_{1}=0$ координата источника $x_{1}=r$. Тогда событие 2 произойдет в момент времени $t_{2}$ в точке с координатой $x_{2}=r+v t_{2}$ (источник сместится). Используя преобразования Лоренца, найдем, что для СО $K^{\prime}$, связанной с источником: $$ \left\{\begin{array}{c} t_{1}^{\prime}=\gamma\left(0-\frac{v r}{c^{2}}\right)=-\gamma \frac{v r}{c^{2}} \\ t_{2}^{\prime}=\gamma\left(t_{2}-\frac{v\left(r+v t_{2}\right)}{c^{2}}\right)=\gamma t_{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)-\gamma \frac{v r}{c^{2}} \end{array}\right\} \Rightarrow T_{0}=t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=\gamma t_{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)=\frac{t_{2}}{\gamma} $$ ( $T_{0}$ - период излучения по часам источника). Таким образом, $t_{2}=\gamma T_{0}$ (мы опять столкнулись с эффектом релятивистского замедления времени). Теперь рассмотрим события 3 и 4 - прием этих же «гребней» волны приемником. Ясно, что $t_{3}=\frac{r}{c}$, а $t_{4}=t_{2}+\frac{r+v t_{2}}{c}=\frac{r}{c}+t_{2}\left(1+\frac{v}{c}\right)$. Следовательно, период принимаемого излучения $$ T=t_{4}-t_{3}=t_{2}\left(1+\frac{v}{c}\right)=T_{0} \sqrt{\frac{1+v / c}{1-v / c}} \Rightarrow v=v_{0} \sqrt{\frac{1-v / c}{1+v / c}} . $$ Итак, при удалении источника частота изменяется благодаря двум эффектам: релятивистскому замедлению времени и удалению источника. Уменьшение частоты сигналов часто называют «красным» смещением. Следующий пример посвящен очень важному для понимания СТО явлению, о котором упоминалось при анализе преобразований Лоренца - относительности одновременности. Пример 2: Пусть у нас есть карандаш длиной $L$ и пенал длиной $l=\frac{L}{2}$. Естественно, карандаш не помещается в пенал. Тем не менее, если мы направим карандаш по оси пенала с открытой крышкой со скоростью, чуть большей $v=\frac{\sqrt{3}}{2} c$, то благодаря эффекту релятивистского сокращения длин длина карандаша в СО $K$, связанной с пеналом, будет чуть меньше $L^{\prime}=L \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{L}{2}$. Следовательно, в момент времени, когда «острие» карандаша коснется стенки пенала, «мгновенный» затвор может захлопнуть крышку позади «конца» карандаша, и в это мгновение карандаш целиком будет находится внутри пенала. Опишите этот процесс в СО $K^{\prime}$, связанной с карандашом. Ведь в этой СО длина карандаша равна $L$, а из-за релятивистского сокращения длина пенала $l^{\prime}=l \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} \approx \frac{L}{4}$, и карандаш не может поместиться в пенале. В чем же дело? Решение: Будем считать, что в СО $K$ события 1 и 2 (касание острием карандаша стенки пенала и закрытие крышки) происходят в момент времени $t_{1}=t_{2} \equiv 0$. Если начало координат совмещено со стенкой пенала, то $x_{1}=0$ и $x_{2}=\frac{L}{2}$. Нетрудно заметить, что по часам $K^{\prime}$ события 1 и 2 не одновременны, и при этом (считаем, что начало координат $K^{\prime}$ в момент $t^{\prime}=0$ тоже совмещено с острием карандаша и стенкой пенала): $t_{1}^{\prime} \equiv 0$, $t_{2}^{\prime}=\gamma\left(0+\frac{v}{c^{2}} \frac{L}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{L}{c}$. При этом $x_{1}^{\prime} \equiv 0$ и $x_{2}^{\prime}=\gamma\left(\frac{L}{2}+0\right)=L$, то есть действительно острие карандаша и стенка пенала находятся в одной точке в некоторый момент времени по часам $K^{\prime}$, и конец карандаша и крышка пенала также «совмещаются» в некоторый момент времени, просто в $K^{\prime}$ это разные моменты времени. При этом в любой момент времени в $K^{\prime}$ разность координат конца и острия карандаша равна $L$, а разность координат стенки и крышки пенала - $\frac{L}{4}$ (пока они не меняют состояния движения). Итак: в СО, связанной с карандашом, на него налетает пенал, и в момент времени $t_{1}^{\prime}=0$ стенка пенала сталкивается с острием карандаша. Крышка пенала после этого еще продолжает двигаться по закону $x_{K}^{\prime}=\frac{L}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2} c t_{K}^{\prime}$, и к моменту $t_{2}^{\prime}=\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{L}{c}$ как раз «доезжает» до точки $x_{2}^{\prime}=L$. Что при этом «делают» стенка пенала и острие карандаша? Это уже зависит от результата их соударения (для стенки пенала моменты времени $0 0$ ). Если острие пробивает стенку, не теряя скорости, то в $K^{\prime}$ стенка пена...