Механическая работа

Однородная цепочка длиной 2 м лежит на столе. Когда часть цепочки длиной 0,2 м опускают со стола, она начинает скользить вниз. Масса цепочки 5 кг, а сила трения между столом и цепочкой составляет 0,1 веса цепочки. Какая работа против силы трения совершается при соскальзывании цепочки?

Так как длина цепочки \ell , а масса цепочки m , то на единицу длины цепочки приходится масса m/\ell , т.е. \lambda = \frac{m}{\ell}, \text{ — поверхностная плотность цепочки, } [\lambda] = \frac{\text{кг}}{\text{м}} Если свешивается длина \ell_1 , то m_1 = \lambda \cdot \ell_1. Оставшаяся на столе часть: m_{\text{ост}} = m - m_1 = \lambda(\ell - \ell_1). Сила трения действует на часть, лежащую на столе:

13 F_{\text{тр}} &= 0,1 m_{\text{ост}} g = 0,1(m - m_1)g \\

F_{\text{тр}} &= 0,1 \lambda (\ell - \ell_1)g = 0,1 \frac{m}{\ell} (\ell - \ell_1)g. \\

F_{\text{тр}} &= 0,1 \cdot \frac{5}{2} \cdot (2 - 0,2) \cdot 10 = 4,5 \text{ Н}. По условию задачи соскальзывание начинается тогда, когда часть цепочки длиной \ell_1 = 0,2 м свесится со стола.

Значит, работа будет совершаться при изменении длины цепочки, находящейся на столе, от (\ell - \ell_1) до 0. Поэтому работа против сил трения на пути (\ell - \ell_1) : A = \frac{1}{2} \cdot |F_{\text{тр}}| \cdot (\ell - \ell_1) = \frac{1}{2} \cdot 4,5 \cdot 1,8 = 4,05 \text{ Дж}.

14 Крокодил Гена и Чебурашка копали яму цилиндрической формы и глубиной Н = 1,40 м. До какой глубины должен был докапать Чебурашка, чтобы Гене досталось совершить такую же работу?

19 При рытье колодца глубиной x, работа по выемке грунта на поверхность земли равна изменению потенциальной энергии этого грунта (считаем, что грунт из колодца рассыпали тонким слоем на поверхности земли).

А) Теоретически h_1 &= \frac{x}{2} \\

h_2 &= x \\

\Delta h &= x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2} \\

m &= \rho S x \text{ — масса земли из колодца} \\

A_{\text{внеш}} &= mg\Delta h = \rho S x g \frac{x}{2} = \frac{\rho S g x^2}{2}

Б) 1) Чебурашка будет копать до глубины h и совершит работу A_{\text{ч}} = \frac{\rho S g h_{\text{ч}}^2}{2}

2) Чтобы выкопать колодец глубиной H, необходимо совершить работу A = \frac{\rho S g H^2}{2}

Т.к. по условию Чебурашка совершает половину от всей работы, то A_{\text{ч}} &= \frac{1}{2} A \\

\frac{\rho S g h_{\text{ч}}^2}{2} &= \frac{1}{2} \frac{\rho S g H^2}{2} \rightarrow h_{\text{ч}}^2 = \frac{1}{2} H^2 \\

h_{\text{ч}} &= \frac{H}{\sqrt{2}} = \frac{1,4}{\sqrt{2}} = 1 \text{ м}

Значит Гена h_{\text{г}} = H - h_{\text{ч}} = 1,4 \text{ м} - 1 \text{ м} = 0,4 \text{ м}