Изменение уровня жидкости. Перетекание

Задача 1

Условие

В прямоугольный сосуд с площадью дна S_0 = 100 см^2 налита вода до уровня H = 50 см . У поверхности воды находится поршень с отверстием площадью S = 10 см^2 . В отверстии закреплена трубка высотой h = 1 м . На поршень начинают давить так, что он опускается вниз вместе с трубкой с постоянной скоростью u=10 см/с .

1) С какой скоростью будет подниматься уровень воды в трубке относительно земли?

2) Через какое время после начала движения вода начнёт переливаться через верхний край трубки? Считайте, что поршень вплотную прилегает к стенкам сосуда.

1 Решение

2 Пусть \vartheta — скорость воды в трубке (относительно земли).

1) Рассмотрим промежуток времени t . Из-под поршня выдавится объем воды: V_1 = (S_0 - S) u t А в трубку за это же время затечет объем: V_2 = S \vartheta t Так как вода несжимаема, то V_1 = V_2 : (S_0 - S) u t = S \vartheta t \vartheta = \frac{(S_0 - S)u}{S} \vartheta = \frac{(100 см^2 - 10 см^2) \cdot 10 \frac{см}{с}}{10 см^2} = 90 \frac{см}{с}

2) Относительно земли трубка и уровень воды в ней движутся: Вода — вверх со скоростью \vartheta . Трубка — вниз со скоростью u . Значит вода относительно трубки поднимается со скоростью (\vartheta + u) , тогда: \tau = \frac{h}{\vartheta + u} = \frac{100 см}{90 \frac{см}{с} + 10 \frac{см}{с}} = 1,1 с

Ответ 90 см/с; 1,1 с.

Задача 2

Условие

Сообщающиеся сосуд, изображённый на рисунке, заполнен до какого-то уровня холодной водой. Куда потечёт вода, если её нагреть?

3 Решение

4 Причем \Delta V_1 > \Delta V_2 , т.к. объем воды в левом колене больше, при расширении даст большее увеличение \Delta V_1 .

1) Временно закроем нижнюю трубку сообщающихся сосудов краном и дадим возможность системе перейти в новое состояние, а потом сравним давление справа и слева (в точках 1 и 2).

2) Нагревание воды в левой части сосуда вызовет достаточно ощутимый подъем воды в узкой части этого колена, т.к. площадь S_1 достаточно мала.

3) В правом колене всё наоборот, тут площадь S_2 огромная \to подъём воды будет на значительно меньшую высоту.

4) Теперь понятно, что P_2 > P_1 и жидкость будет перетекать из левого в правое колено.

Ответ Из левого в правое.

Задача 3

Условие

Сосуд, имеющий форму параллелепипеда, на 60

8 Решение

9 1) В сосуде была масса воды: m_{1в} = \rho_{в} \cdot 0,4 S \cdot h_1 2) В сосуде была масса льда: m_{1л} = \rho_{л} \cdot 0,6 S \cdot h_1

3) Когда весь лёд растает, в сосуде стало воды: m_{в.общ} = m_{1в} + m_{1л} = \rho_{в} \cdot h_1 \cdot 0,4S + \rho_{л} \cdot 0,6S \cdot h_1 m_{в.общ} = (0,4\rho_{в} + 0,6\rho_{л}) \cdot S h_1 \quad (1) С другой стороны: m_{в.общ} = \rho_{в} \cdot S \cdot h_2 \quad (2) Из (1) и (2): (0,4\rho_{в} + 0,6\rho_{л}) \cdot S \cdot h_1 = \rho_{в} \cdot S \cdot h_2 h_2 = (0,4 + 0,6 \cdot 0,9)h_1 = 0,94h_1

4) P_1 = \rho_{в} \cdot g h_1 P_2 = \rho_{в} \cdot g \cdot 0,94 \cdot h_1 = -0,06 = -6\%

Ответ Гидростатическое давление уменьшилось на 6%