Изменение уровня жидкости. Перетекание

Задача 1 Условие В прямоугольный сосуд с площадью дна $S_0 = 100 см^2$ налита вода до уровня $H = 50 см$. У поверхности воды находится поршень с отверстием площадью $S = 10 см^2$. В отверстии закреплена трубка высотой $h = 1 м$. На поршень начинают давить так, что он опускается вниз вместе с трубкой с постоянной скоростью $u=10 см/с$. 1) С какой скоростью будет подниматься уровень воды в трубке относительно земли? 2) Через какое время после начала движения вода начнёт переливаться через верхний край трубки? Считайте, что поршень вплотную прилегает к стенкам сосуда. Решение Пусть $\vartheta$ — скорость воды в трубке (относительно земли). 1) Рассмотрим промежуток времени $t$. Из-под поршня выдавится объем воды: $$ V_1 = (S_0 - S) u t $$ А в трубку за это же время затечет объем: $$ V_2 = S \vartheta t $$ Так как вода несжимаема, то $V_1 = V_2$: $$ (S_0 - S) u t = S \vartheta t $$ $$ \vartheta = \frac{(S_0 - S)u}{S} $$ $$ \vartheta = \frac{(100 см^2 - 10 см^2) \cdot 10 \frac{см}{с}}{10 см^2} = 90 \frac{см}{с} $$ 2) Относительно земли трубка и уровень воды в ней движутся: Вода — вверх со скоростью $\vartheta$. Трубка — вниз со скоростью $u$. Значит вода относительно трубки поднимается со скоростью $(\vartheta + u)$, тогда: $$ \tau = \frac{h}{\vartheta + u} = \frac{100 см}{90 \frac{см}{с} + 10 \frac{см}{с}} = 1,1 с $$ Ответ 90 см/с; 1,1 с. Задача 2 Условие Сообщающиеся сосуд, изображённый на рисунке, заполнен до какого-то уровня холодной водой. Куда потечёт вода, если её нагреть? Решение Причем $\Delta V_1 > \Delta V_2$, т.к. объем воды в левом колене больше, при расширении даст большее увеличение $\Delta V_1$. 1) Временно закроем нижнюю трубку сообщающихся сосудов краном и дадим возможность системе перейти в новое состояние, а потом сравним давление справа и слева (в точках 1 и 2). 2) Нагревание воды в левой части сосуда вызовет достаточно ощутимый подъем воды в узкой части этого колена, т.к. площадь $S_1$ достаточно мала. 3) В правом колене всё наоборот, тут площадь $S_2$ огромная $\to$ подъём воды будет на значительно меньшую высоту. 4) Теперь понятно, что $P_2 > P_1$ и жидкость будет перетекать из левого в правое колено. Ответ Из левого в правое. Задача 3 Условие Сосуд, имеющий форму параллелепипеда, на 60 Решение 1) В сосуде была масса воды: $$ m_{1в} = \rho_{в} \cdot 0,4 S \cdot h_1 $$ 2) В сосуде была масса льда: $$ m_{1л} = \rho_{л} \cdot 0,6 S \cdot h_1 $$ 3) Когда весь лёд растает, в сосуде стало воды: $$ m_{в.общ} = m_{1в} + m_{1л} = \rho_{в} \cdot h_1 \cdot 0,4S + \rho_{л} \cdot 0,6S \cdot h_1 $$ $$ m_{в.общ} = (0,4\rho_{в} + 0,6\rho_{л}) \cdot S h_1 \quad (1) $$ С другой стороны: $$ m_{в.общ} = \rho_{в} \cdot S \cdot h_2 \quad (2) $$ Из (1) и (2): $$ (0,4\rho_{в} + 0,6\rho_{л}) \cdot S \cdot h_1 = \rho_{в} \cdot S \cdot h_2 $$ $$ h_2 = (0,4 + 0,6 \cdot 0,9)h_1 = 0,94h_1 $$ 4) $$ P_1 = \rho_{в} \cdot g h_1 $$ $$ P_2 = \rho_{в} \cdot g \cdot 0,94 \cdot h_1 $$ = = -0,06 = -6 Ответ Гидростатическое давление уменьшилось на 6