Изменение уровня жидкости. Перетекание

Задача 4 Условие В середине поршня массой $m = 10 кг$ и площадью $S = 500 см^2$ имеется узкое отверстие. Если закрепить поршень в вертикальной трубе и налить поверх него $h = 10 см$ воды, то за 1 секунду через отверстие вытекает $v = 5 мл$ воды. В цилиндрический сосуд наливают 10 см воды и кладут сверху поршень. Поршень плотно прилегает к стенкам сосуда, но может двигаться без трения. Через какое время поршень достигнет дна сосуда? Решение 1) Разность давлений над и под поршнем: $$ \Delta P_{AB} = \rho_{в} g h_1 = 10^3 \frac{кг}{м^3} \cdot 10 \frac{Н}{кг} \cdot 0,1 м = 1 \cdot 10^3 Па $$ Скорость вытекания воды через первое отверстие: $v_1 = 5 \frac{см^3}{с}$. 2) Поскольку течение воды через отверстие вызывается разностью давлений, а во втором случае: $$ \Delta P_{CD} = \frac{m_{п} g}{S_{п}} = \frac{100 Н}{0,05 м^2} = 2 \cdot 10^3 Па $$ Разность давлений в 2 раза больше, то поток воды в 2 раза больше и скорость: $$ v_{2выт} = 10 \frac{см^3}{с} $$ Объём воды под поршнем: $$ V = S \cdot h_2 = 500 см^2 \cdot 10 см = 5 \cdot 10^3 см^3 $$ $$ \tau = \frac{V}{v_{2 выт}} = \frac{5 \cdot 10^3 см^3}{10 \frac{см^3}{с}} = 500 с $$ Ответ 500 с. Задача 5 Условие Два одинаковых цилиндра с поршнями соединены трубкой с краном K. В цилиндрах находится вода. Поршни плотно прилегают к стенкам и могут двигаться вдоль них без трения. В начальный момент кран закрыт, а поршни находятся в равновесии. Затем на поршни ставят стальные бруски: на левый — массой $3m$, на правый — массой $m$. Оба бруска заливают одинаковым большим количеством ртути. Плотность ртути $\rho_{рт} = 13600 кг/м^3$, плотность стали $\rho_{ст} = 7800 кг/м^3$, бруски всплывают. На сколько сместятся поршни относительно друг друга после открытия крана? Площадь поршней — $S$, плотность воды — $\rho_0$ (известна). Решение 1. Бруски плавают в ртути и не давят непосредственно на поршни, но они вытесняют ртуть, и ее уровень в левом сосуде выше $\Rightarrow$ сила давления на поршень в левом сосуде больше, чем в правом. Сила давления на поршень = весу того, что находится над этим поршнем. Пусть $M$ — масса ртути. Давление на левый поршень: $\frac{(M + 3m)g}{S}$. Давление на правый: $\frac{(M + m)g}{S}$. Тогда $$ \Delta P = \frac{(M + 3m - M - m)g}{S} = \frac{2mg}{S} $$ Эта разность давлений приведёт к тому, что левый опустится, а правый поднимется, так чтобы разность их высот удовлетворяла соотношению: $$ \Delta P = \rho_0 g \Delta h $$ $$ \rho_0 g \Delta h = \frac{2mg}{S} $$ $$ \Delta h = \frac{2mg}{S \rho_0 g} $$ Ответ $\frac{2mg}{S \rho_0 g}$.