Изменение уровня жидкости. Перетекание

Задача 4

Условие

В середине поршня массой m = 10 кг и площадью S = 500 см^2 имеется узкое отверстие. Если закрепить поршень в вертикальной трубе и налить поверх него h = 10 см воды, то за 1 секунду через отверстие вытекает v = 5 мл воды. В цилиндрический сосуд наливают 10 см воды и кладут сверху поршень. Поршень плотно прилегает к стенкам сосуда, но может двигаться без трения. Через какое время поршень достигнет дна сосуда?

5 Решение

1) Разность давлений над и под поршнем: \Delta P_{AB} = \rho_{в} g h_1 = 10^3 \frac{кг}{м^3} \cdot 10 \frac{Н}{кг} \cdot 0,1 м = 1 \cdot 10^3 Па Скорость вытекания воды через первое отверстие: v_1 = 5 \frac{см^3}{с} .

6 2) Поскольку течение воды через отверстие вызывается разностью давлений, а во втором случае: \Delta P_{CD} = \frac{m_{п} g}{S_{п}} = \frac{100 Н}{0,05 м^2} = 2 \cdot 10^3 Па

7 Разность давлений в 2 раза больше, то поток воды в 2 раза больше и скорость: v_{2выт} = 10 \frac{см^3}{с} Объём воды под поршнем: V = S \cdot h_2 = 500 см^2 \cdot 10 см = 5 \cdot 10^3 см^3 \tau = \frac{V}{v_{2 выт}} = \frac{5 \cdot 10^3 см^3}{10 \frac{см^3}{с}} = 500 с

Ответ 500 с.

Задача 5

Условие

Два одинаковых цилиндра с поршнями соединены трубкой с краном K. В цилиндрах находится вода. Поршни плотно прилегают к стенкам и могут двигаться вдоль них без трения. В начальный момент кран закрыт, а поршни находятся в равновесии. Затем на поршни ставят стальные бруски: на левый — массой 3m , на правый — массой m . Оба бруска заливают одинаковым большим количеством ртути. Плотность ртути \rho_{рт} = 13600 кг/м^3 , плотность стали \rho_{ст} = 7800 кг/м^3 , бруски всплывают. На сколько сместятся поршни относительно друг друга после открытия крана? Площадь поршней — S , плотность воды — \rho_0 (известна).

10 Решение

11 1. Бруски плавают в ртути и не давят непосредственно на поршни, но они вытесняют ртуть, и ее уровень в левом сосуде выше \Rightarrow сила давления на поршень в левом сосуде больше, чем в правом. Сила давления на поршень = весу того, что находится над этим поршнем.

Пусть M — масса ртути. Давление на левый поршень: \frac{(M + 3m)g}{S} . Давление на правый: \frac{(M + m)g}{S} . Тогда \Delta P = \frac{(M + 3m - M - m)g}{S} = \frac{2mg}{S} Эта разность давлений приведёт к тому, что левый опустится, а правый поднимется, так чтобы разность их высот удовлетворяла соотношению: \Delta P = \rho_0 g \Delta h \rho_0 g \Delta h = \frac{2mg}{S} \Delta h = \frac{2mg}{S \rho_0 g}

Ответ \frac{2mg}{S \rho_0 g} .