Сила Архимеда

Задача 1

Условие

В вертикальном цилиндрическом сосуде с водой ( \rho_{в} = 1,00 \frac{г}{см^3} ) плавал кусок льда с вмерзшим в него металлическим шариком. Плотность вещества шарика ( \rho_{ш} = 12 \frac{г}{см^3} ). После таяния льда уровень воды в сосуде понизился на высоту |\Delta h| = 5,0 мм . Если площадь дна сосуда S = 110 см^2 , то масса m шарика равна …г.

Решение

1 способ 1) Было: плавает чистый лёд m_1 = m_{л} . Условие плавания: m_1 \cdot g = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{погр} \quad (1) 2) Стало: m_2 = m_{л} - \rho_{л} \cdot V_{ш} + \rho_{ш} \cdot V_{ш} Условие плавания: m_2 \cdot g = \rho_{в} \cdot g \cdot V'_{погр} \quad (2) Вычтем из (2) выражение (1): (m_2 - m_1) \cdot g = \rho_{в} \cdot g \cdot (V'_{погр} - V_{погр}) (m_{л} - \rho_{л} \cdot V_{ш} + \rho_{ш} \cdot V_{ш}) - m_{л} = \rho_{в} \cdot \Delta V_{погр} V_{ш} \cdot (\rho_{ш} - \rho_{л}) = \rho_{в} \cdot S \cdot \Delta h V_{ш} = \frac{(\rho_{в} \cdot S \cdot \Delta h)}{(\rho_{ш} - \rho_{л})} V_{ш} = \frac{(10^3 \cdot 110 \cdot 10^{-4} \cdot 5 \cdot 10^{-3})}{(11 \cdot 10^3)} = 50 \cdot 10^{-7} м^3 m_{ш} = V_{ш} \cdot \rho_{ш} = 50 \cdot 10^{-7} \cdot 12 \cdot 10^3 = 600 \cdot 10^{-4} кг = 60 г

Ответ 60 г.

Задача 2

Условие

Шарик из пенопласта ( \rho_1 = 100 \frac{кг}{м^3} ) радиусом R = 2,0 см прикреплен к одному концу тонкой длинной металлической цепочки и положен вместе с ней на дно сосуда, в который медленно наливают воду ( \rho_0 = 1,0 \frac{г}{см^3} ). Масса одного сантиметра цепочки \frac{m_0}{l} = 628 \frac{мг}{см} . Если выталкивающей силой, действующей на цепочку, пренебречь, то минимальная высота столба воды H_{min} при которой шарик полностью окажется в воде, равна …см.

Решение

4 Когда шарик окажется под водой: F_A = m_{ш} \cdot g + m_{цеп} \cdot g \quad (*) где: а) F_A = \rho_{в} \cdot g \cdot \left( \frac{4}{3} \pi \cdot R_{ш}^3 \right) б) m_{ш} = \rho_{ш} \cdot \left( \frac{4}{3} \pi \cdot R_{ш}^3 \right) в) m_{цеп} = \left( \frac{m_0}{l} \right) \cdot h г) H_{min} = 2R + h

Из (*): \rho_{в} \cdot g \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R_{ш}^3 = g \cdot \left( \rho_{ш} \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R_{ш}^3 + \frac{m_0}{l} \cdot h \right) \frac{m_0}{\rho} \cdot h = \left( \frac{4}{3} \pi \cdot R_{ш}^3 \right) \cdot (\rho_{в} - \rho_{ш}) h = \frac{\frac{4}{3} \pi \cdot R_{ш}^3 \cdot (\rho_{в} - \rho_{ш})}{\frac{m_0}{l}} h = \frac{\frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 8 \cdot (10^{-2})^3 \cdot (1000 - 100)}{62,8 \cdot 10^{-3}} = \frac{480 \cdot 10^{-6}}{10^{-3}} = 0,48 м H_{min} = 2R + h = 2 \cdot 2 \cdot 10^{-2} + 0,48 = 0,04 + 0,48 = 0,52 м = 52 см

Ответ 52 см.