Сила Архимеда

Задача 1 Условие В вертикальном цилиндрическом сосуде с водой ($\rho_{в} = 1,00 \frac{г}{см^3}$) плавал кусок льда с вмерзшим в него металлическим шариком. Плотность вещества шарика ($\rho_{ш} = 12 \frac{г}{см^3}$). После таяния льда уровень воды в сосуде понизился на высоту $|\Delta h| = 5,0 мм$. Если площадь дна сосуда $S = 110 см^2$, то масса $m$ шарика равна …г. Решение 1 способ 1) Было: плавает чистый лёд $m_1 = m_{л}$. Условие плавания: $$ m_1 \cdot g = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{погр} \quad (1) $$ 2) Стало: $$ m_2 = m_{л} - \rho_{л} \cdot V_{ш} + \rho_{ш} \cdot V_{ш} $$ Условие плавания: $$ m_2 \cdot g = \rho_{в} \cdot g \cdot V'_{погр} \quad (2) $$ Вычтем из (2) выражение (1): $$ (m_2 - m_1) \cdot g = \rho_{в} \cdot g \cdot (V'_{погр} - V_{погр}) $$ $$ (m_{л} - \rho_{л} \cdot V_{ш} + \rho_{ш} \cdot V_{ш}) - m_{л} = \rho_{в} \cdot \Delta V_{погр} $$ $$ V_{ш} \cdot (\rho_{ш} - \rho_{л}) = \rho_{в} \cdot S \cdot \Delta h $$ $$ V_{ш} = \frac{(\rho_{в} \cdot S \cdot \Delta h)}{(\rho_{ш} - \rho_{л})} $$ $$ V_{ш} = \frac{(10^3 \cdot 110 \cdot 10^{-4} \cdot 5 \cdot 10^{-3})}{(11 \cdot 10^3)} = 50 \cdot 10^{-7} м^3 $$ $$ m_{ш} = V_{ш} \cdot \rho_{ш} = 50 \cdot 10^{-7} \cdot 12 \cdot 10^3 = 600 \cdot 10^{-4} кг = 60 г $$ Ответ 60 г. Задача 2 Условие Шарик из пенопласта ($\rho_1 = 100 \frac{кг}{м^3}$) радиусом $R = 2,0 см$ прикреплен к одному концу тонкой длинной металлической цепочки и положен вместе с ней на дно сосуда, в который медленно наливают воду ($\rho_0 = 1,0 \frac{г}{см^3}$). Масса одного сантиметра цепочки $\frac{m_0}{l} = 628 \frac{мг}{см}$. Если выталкивающей силой, действующей на цепочку, пренебречь, то минимальная высота столба воды $H_{min}$ при которой шарик полностью окажется в воде, равна …см. Решение Когда шарик окажется под водой: $$ F_A = m_{ш} \cdot g + m_{цеп} \cdot g \quad (*) $$ где: а) $F_A = \rho_{в} \cdot g \cdot \left( \frac{4}{3} \pi \cdot R_{ш}^3 \right)$ б) $m_{ш} = \rho_{ш} \cdot \left( \frac{4}{3} \pi \cdot R_{ш}^3 \right)$ в) $m_{цеп} = \left( \frac{m_0}{l} \right) \cdot h$ г) $H_{min} = 2R + h$ Из (*): $$ \rho_{в} \cdot g \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R_{ш}^3 = g \cdot \left( \rho_{ш} \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R_{ш}^3 + \frac{m_0}{l} \cdot h \right) $$ $$ \frac{m_0}{\rho} \cdot h = \left( \frac{4}{3} \pi \cdot R_{ш}^3 \right) \cdot (\rho_{в} - \rho_{ш}) $$ $$ h = \frac{\frac{4}{3} \pi \cdot R_{ш}^3 \cdot (\rho_{в} - \rho_{ш})}{\frac{m_0}{l}} $$ $$ h = \frac{\frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 8 \cdot (10^{-2})^3 \cdot (1000 - 100)}{62,8 \cdot 10^{-3}} = \frac{480 \cdot 10^{-6}}{10^{-3}} = 0,48 м $$ $$ H_{min} = 2R + h = 2 \cdot 2 \cdot 10^{-2} + 0,48 = 0,04 + 0,48 = 0,52 м = 52 см $$ Ответ 52 см.