Сообщающиеся сосуды

Задача 1 Условие В цилиндрических сообщающихся сосудах площадь сечения правого колена в три раза больше площади сечения левого, а поверхность жидкости полностью закрыта поршнями. В лаборатории экспериментатора Иннокентия Иванова есть два сплошных кубика, сделанные из сплавов с различной плотностью, причём длина ребра одного кубика в два раза меньше длины ребра второго. Когда на левый поршень положили маленький кубик, а на правый — большой, разность уровней жидкости в сосудах оказалась равна $h$. Когда же на левый поршень положили большой кубик, а на правый — маленький, разность уровней в сосудах стала равна $4h$. Чему равна плотность сплава, из которого сделан большой кубик, если плотность материала маленького кубика равна $5,6 г/см^3$? Массой поршней пренебречь, трение между поршнями и стенками сосуда отсутствует. Решение Пусть $m$ — масса маленького кубика, $M$ — масса большого куба. $$ P_{лев} = \frac{mg}{S}, \quad P_{прав} = \frac{Mg}{3S} $$ $$ P_{прав} - P_{лев} = \rho_{ж} gh $$ $$ \left( \frac{Mg}{3S} \right) - \left( \frac{mg}{S} \right) = \rho_{ж} \cdot g \cdot h \implies (M - 3m) = \rho_{ж} \cdot h \cdot 3S \quad (1) $$ Во втором случае: $$ P_{лев} = \frac{Mg}{S}, \quad P_{прав} = \frac{mg}{3S} $$ $$ P_{лев} - P_{прав} = \rho_{ж} \cdot g \cdot 4h $$ $$ \left( \frac{Mg}{S} \right) - \left( \frac{mg}{3S} \right) = \rho_{ж} \cdot g \cdot 4h \implies (3M - m) = \rho_{ж} 12 \cdot S h \quad (2) $$ Разделим (1) на (2): $$ \frac{(M - 3m)}{3M - m} = \frac{1}{4} $$ $$ 4M - 12m = 3M - m \implies M = 11m \quad (3) $$ Объёмы кубов: $$ V_{мал} = a^3, \quad V_{бол} = 8a^3 \implies V_{бол} = 8 \cdot V_{мал} \quad (4) $$ Из (3) и (4): $$ \rho_2 \cdot V_{бол} = 11 \cdot \rho_1 \cdot V_{мал} $$ $$ \rho_2 \cdot 8V_{мал} = \rho_1 \cdot V_{мал} \cdot 11 $$ $$ \rho_2 = \frac{11 \rho_1}{8} = \frac{11 \cdot 5,6 \frac{г}{см^3}}{8} = 7,7 \frac{г}{см^3} $$ Ответ 7,7 $\frac{г}{см^3}$. Задача 2 Условие Изогнутая трубка, правая часть которой открыта, заполнена жидкостью плотностью $\rho$, но внутри есть воздушные пузыри. Найдите разность между максимальным и минимальным давлениями в точках, выделенных на рисунке. Воздух в пузырьках можно считать несжимаемым. Объемы горизонтальных участков трубки пренебрежимо малы. Высота h одного деления трубки известна. Решение В таких задачах отталкиваемся от тех точек, в которых умеем находить давление. $$ P_1 = P_0 + 6\rho gh = P_2 $$ $$ P_4 = P_3 = P_0 + 6\rho gh - 8\rho gh = P_0 - 2\rho gh $$ $$ P_5 = P_4 + 5\rho gh = P_0 - 2\rho gh + 5\rho gh \implies P_5 = P_0 + 3\rho gh $$ Далее по газу давление везде: $$ P_5 = P_0 + 3\rho gh $$ $$ P_6 = P_5 - 6\rho gh = P_0 + 3\rho gh - 6\rho gh \implies P_6 = P_0 - 3\rho gh $$ Вновь в газовом пузыре давление везде: $$ P_6 = P_0 - 3\rho gh $$ $$ P_7 = P_6 + 3\rho gh = P_0 - 3\rho gh + 3\rho gh \implies P_7 = P_0 $$ $$ P_8 = P_7 - 6\rho gh = P_0 - 6\rho gh $$ $$ P_9 = P_0 - 6\rho gh $$ $$ P_{max} - P_{min} = P_1 - P_8 = (P_0 + 6\rho gh) - (P_0 - 6\rho gh) = 12\rho gh $$ Ответ $12 \rho gh$.