Давление жидкости

Задача 1 Условие В вертикальный цилиндрический сосуд налиты керосин и вода, общая высота которых $h = 96$ см. Определите гидростатическое давление на дно сосуда, если масса воды на $\varepsilon = 15\ \noindent\underline{\textbf{Решение}} 1) __DISPLAY_MATH_0__ 2) __DISPLAY_MATH_1__ __DISPLAY_MATH_2__ 3) __DISPLAY_MATH_3__ __DISPLAY_MATH_4__ и __DISPLAY_MATH_5__ $$ h_{к} = h - h_{в} - подставим в (1) $$ __DISPLAY_MATH_7__ __DISPLAY_MATH_8__ __DISPLAY_MATH_9__ $$ h_{в} = \frac{1,15 \rho_{к} h}{1,15 \rho_{к} + \rho_{в}} = \frac{(1,15 \cdot 0,8 \cdot 96)}{(1,15 \cdot 0,8 + 1)} = \frac{88,32}{1,92} = 46 см $$ __DISPLAY_MATH_11__ __DISPLAY_MATH_12__ __DISPLAY_MATH_13__ __DISPLAY_MATH_14__ \noindent\underline{\textbf{Ответ}} 8,6 кПа \vspace{1cm} \noindent\textbf{Задача 2} \noindent\underline{\textbf{Условие}} Труба, сечение которой является квадратом со стороной $a = 20$ см, закрыта поршнем. К трубе присоединена вертикальная трубка, частично наполненная водой. Чтобы удерживать поршень в равновесии, к нему необходимо прикладывать силу $F = 16$ Н, направленную вправо. Каков уровень воды в трубке? Трение отсутствует. \begin{figure}[h] \centering \end{figure} \noindent\underline{\textbf{Решение}} \begin{figure}[h] \centering \end{figure} Сечение трубки – квадрат со стороной $a = 0,2$ м; $F = 16$ Н направлена вправо (по условию) а) Условие равновесия поршня: __DISPLAY_MATH_15__ Где __DISPLAY_MATH_16__ __DISPLAY_MATH_17__ (Опустились на дно, Поднялись до нужной отметки) Из (1) и (2): __DISPLAY_MATH_18__ $$ F = \rho \cdot g \cdot \left( h - \frac{a}{2} \right) a^2 $$ __DISPLAY_MATH_20__ __DISPLAY_MATH_21__ \noindent\underline{\textbf{Ответ}} 14 см \noindent\textbf{Задача 3} \noindent\underline{\textbf{Условие}} В герметичном сосуде сверху находится жидкость с плотностью $\rho_0 = 800 кг/м^3$, отделённая легким подвижным поршнем от газа, находящегося внизу и имеющего давление $P = 20$ кПа. В поршне есть круглое отверстие, в которое вставлен цилиндрический поплавок, причём в жидкость поплавок погружён на некоторую длину $h$, а в газ — на длину $3h$. Площадь основания поплавка $S$. Поплавок может свободно скользить относительно поршня, а поршень — относительно стенок сосуда. Жидкость нигде не подтекает. Какой должна быть плотность поплавка $\rho$, чтобы система могла оставаться в равновесии? Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^2$. \begin{figure}[h] \centering \end{figure} \noindent\underline{\textbf{Решение}} \begin{figure}[h] \centering \end{figure} Из условия легкого поршня следует, что давление непосредственно над поршнем $P$, т.к. поршень будет в равновесии, если давление снизу «под» и давление сверху «над» поршнем будут одинаковыми. Тогда давление у верхнего торца поплавка на уровне точки А: $$ P_1 = (P - \rho_0 g h) $$ __DISPLAY_MATH_23__ Давление у нижнего торца поплавка: __DISPLAY_MATH_24__ __DISPLAY_MATH_25__ Условие равновесия поплавка: __DISPLAY_MATH_26__ $$ P_1 S + mg = P_2 S $$ __DISPLAY_MATH_28__ $$ P - \rho_0 \cdot g \cdot h + 4h \cdot \rho \cdot g = P $$ __DISPLAY_MATH_30__ __DISPLAY_MATH_31__ $$ \rho = \frac{\rho_0}{4} = \frac{800}{4} = 200 \frac{кг}{м^3} $$ \noindent\underline{\textbf{Ответ}} $200 \frac{кг}{м^3}$