Давление жидкости

Задача 1

Условие

В вертикальный цилиндрический сосуд налиты керосин и вода, общая высота которых h = 96 см. Определите гидростатическое давление на дно сосуда, если масса воды на \varepsilon = 15\% больше массы керосина. Плотность керосина: \rho_1 = 0,80 \text{ г/см}^3 . Плотность воды: \rho_2 = 1,0 \text{ г/см}^3 . Ускорение свободного падения: g = 10 \text{ Н/кг} .

Решение

1)

P_{\text{общ}} = P_1 + P_2

2)

P_1 = \rho_1 \cdot g \cdot h_1

P_2 = \rho_2 \cdot g \cdot h_2

3)

m_{\text{в}} = 1,15 m_{\text{к}}

\rho_{\text{в}} \cdot S \cdot h_{\text{в}} = 1,15 \cdot \rho_{\text{к}} \cdot S \cdot h_{\text{к}} \quad (1)

и

h = h_{\text{к}} + h_{\text{в}}

h_{\text{к}} = h - h_{\text{в}} - \text{подставим в (1)}

\rho_{\text{в}} \cdot h_{\text{в}} = 1,15 \cdot \rho_{\text{к}} \cdot (h - h_{\text{в}})

\rho_{\text{в}} \cdot h_{\text{в}} = 1,15 \cdot \rho_{\text{к}} \cdot h - 1,15 \cdot \rho_{\text{к}} \cdot h_{\text{в}}

h_{\text{в}} \cdot (\rho_{\text{в}} + 1,15 \cdot \rho_{\text{к}}) = 1,15 \cdot \rho_{\text{к}} \cdot h

h_{\text{в}} = \frac{1,15 \rho_{\text{к}} h}{1,15 \rho_{\text{к}} + \rho_{\text{в}}} = \frac{(1,15 \cdot 0,8 \cdot 96)}{(1,15 \cdot 0,8 + 1)} = \frac{88,32}{1,92} = 46 \text{ см}

h_{\text{к}} = 96 \text{ см} - 46 \text{ см} = 50 \text{ см}

P_{\text{общ}} = \rho_{\text{в}} g h_{\text{в}} + \rho_{\text{к}} g h_{\text{к}} = g(\rho_{\text{в}} h_{\text{в}} + \rho_{\text{к}} h_{\text{к}})

P_{\text{общ}} = 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} (1 \cdot 10^3 \cdot 0,46 + 0,8 \cdot 10^3 \cdot 0,5) \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\text{м}

P_{\text{общ}} = 8600 \frac{\text{Н}}{\text{м}^2} = 8600 \text{ Па} = 8,6 \text{ кПа} Ответ 8,6 кПа

Задача 2

Условие

Труба, сечение которой является квадратом со стороной a = 20 см, закрыта поршнем. К трубе присоединена вертикальная трубка, частично наполненная водой. Чтобы удерживать поршень в равновесии, к нему необходимо прикладывать силу F = 16 Н, направленную вправо. Каков уровень воды в трубке? Трение отсутствует. 9 Решение 10

Сечение трубки – квадрат со стороной

a = 0,2 м;

F = 16 Н направлена вправо (по условию)

а) Условие равновесия поршня:

F + P_0 \cdot S = P \cdot S

Где

S = a^2

P = P_0 + \rho g h - \rho g \frac{a}{2}

(Опустились на дно, Поднялись до нужной отметки)

Из (1) и (2):

F + P_0 S = P_0 S + \rho \cdot g \cdot \left( h - \frac{a}{2} \right) S

F = \rho \cdot g \cdot \left( h - \frac{a}{2} \right) a^2

h = \frac{F}{\rho g a^2} + \frac{a}{2}

h = \frac{16 \text{ Н}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0,04 \text{ м}^2} + 0,1 \text{ м} = 0,14 \text{ м}

Ответ 14 см

Задача 3

Условие

В герметичном сосуде сверху находится жидкость с плотностью \rho_0 = 800 кг/м^3 , отделённая легким подвижным поршнем от газа, находящегося внизу и имеющего давление P = 20 кПа. В поршне есть круглое отверстие, в которое вставлен цилиндрический поплавок, причём в жидкость поплавок погружён на некоторую длину h , а в газ — на длину 3h . Площадь основания поплавка S . Поплавок может свободно скользить относительно поршня, а поршень — относительно стенок сосуда. Жидкость нигде не подтекает. Какой должна быть плотность поплавка \rho , чтобы система могла оставаться в равновесии? Ускорение свободного падения g = 10 м/с^2

. 15

Решение

16

Из условия легкого поршня следует, что давление непосредственно над поршнем P , т.к. поршень будет в равновесии, если давление снизу «под» и давление сверху «над» поршнем будут одинаковыми.

Тогда давление у верхнего торца поплавка на уровне точки А: P_1 = (P - \rho_0 g h) F_1 = P_1 S

Давление у нижнего торца поплавка:

P_2 = P

F_2 = PS

Условие равновесия поплавка:

F_1 + mg = F_2

P_1 S + mg = P_2 S

(P - \rho_0 g h)S + S \cdot 4h \cdot \rho \cdot g = PS

P - \rho_0 \cdot g \cdot h + 4h \cdot \rho \cdot g = P

4h \cdot \rho \cdot g = \rho_0 \cdot g \cdot h

4\rho = \rho_0

\rho = \frac{\rho_0}{4} = \frac{800}{4} = 200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}

Ответ 200 \frac{кг}{м^3}