Давление

Задача 5

Условие

Кирпичная конструкция, составленная из шести кирпичей, покоится на земле. Определите отношение давлений P_1 и P_2 , которые оказывают нижний левый и нижний правый кирпичи на землю. Кирпич представляет собой параллелепипед, стороны которого относятся как 1:2:4.

3

Решение

4 P_{\text{лев}} = \frac{\frac{3m_1 g}{2} + m_1 g}{2a \cdot a} = \frac{\frac{5m_1 g}{2}}{2 \cdot 2a^2} = \frac{5m_1 g}{4a^2} 5 P_{\text{прав}} = \frac{\frac{3m_1 g}{2} + 2m_1 g}{4a \cdot a} = \frac{\frac{7m_1 g}{2}}{4 \cdot 4a^2} = \frac{7m_1 g}{2 \cdot 4a^2} \frac{P_{\text{лев}}}{P_{\text{прав}}} = \frac{5m_1 g}{4a^2} \cdot \frac{2 \cdot 4a^2}{7m_1 g} = \frac{10}{7} Задача 6

Условие

Через середины противоположных граней деревянного кубика проделаны по три сквозных квадратных отверстия. Определите давление, которое создает кубик на горизонтальную поверхность, если сторона кубика равна 9 см, а сторона отверстия 3 см. Плотность дерева 800 \text{ кг/м}^3

8 Решение

9 \begin{aligned}

V_{\text{куб}} &= a^3 \\

V_{\text{отв}} &= 7b^3 \\

m_{\text{куб с отв}} &= (V_{\text{куб}} - V_{\text{отв}}) \rho_{\text{дер}} \\

m_{\text{куб с отв}} &= (a^3 - 7b^3) \rho_{\text{дер}} \\

S_{\text{куб. бок с отв}} &= a^2 - b^2 \\

P &= \frac{m_{\text{куб с отв}} g}{a^2 - b^2} = \frac{(a^3 - 7b^3)\rho_{\text{дер}} g}{a^2 - b^2} \\

P &= \frac{10^{-6}(729 - 7 \cdot 27) \cdot 800 \cdot 10}{(81 - 9) \cdot 10^{-4}} = \frac{6000 \cdot 10^{-6} \cdot 10}{10^{-4}} = 6000 \cdot 10^{-1} = 600 \text{ Па}

\end{aligned} Задача 7

Условие

Поверхность образца породы начинает разрушаться, если на неё воздействует давление большее некоторой определённой величины. Модель лунохода в земных испытаниях имела наибольшую массу, при которой она двигаясь по образцу данной породы, ещё не разрушала её. Во сколько раз размеры оригинала лунохода могут отличаться от земной его модели, чтобы луноход не разрушал эту породу на Луне? Луноход и его модель изготовлены из одних и тех же материалов. На поверхности Земли постоянная g_{\text{З}} = 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} , на поверхности Луны g_{\text{л}} = 1,6 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}

Решение

A) Сначала решим задачу считая луноход однородным и имеющим форму параллелепипеда

1) Давление лунохода массы M на занимаемую им лунную поверхность площадью S_{\text{л}} P_{\text{л}} = \frac{M g_{\text{л}}}{S_{\text{л}}} И не должно превышать давление P_{\text{З}} модели лунохода массой m на кусок образца на Земле площадью S_{\text{З}} P_{\text{З}} = \frac{m g_{\text{З}}}{S_{\text{З}}}

2) Пусть все размеры лунохода превышают размеры в x раз, тогда

Луноход

Модель

S_{\text{л}} = xa \cdot xb = abx^2

S_{\text{З}} = ab

M = \rho \cdot xa \cdot xb \cdot xh = x^3 \rho \cdot a \cdot b \cdot h

m = \rho \cdot a \cdot b \cdot h

3) Значит настоящий луноход не провалится, если \begin{aligned}

P_{\text{л}} &\le P_{\text{З}} \\

\frac{M g_{\text{л}}}{S_{\text{л}}} &\le \frac{m g_{\text{З}}}{S_{\text{З}}} \\

\frac{x^3 \cdot \rho \cdot a \cdot b \cdot h \cdot g_{\text{л}}}{x^2 ab} &\le \frac{\rho \cdot a \cdot b \cdot h \cdot g_{\text{З}}}{ab} \\

x g_{\text{л}} &\le g_{\text{З}} \\

x &\le \frac{9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}}{1,6 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}} = 6,125

\end{aligned}

На самом деле, луноход имеет сложную форму и не является однородным (его плотность меняется от точки к точке) НО! А) если размеры модели и лунохода отличаются в x раз, то площадь лунохода по прежнему в x^2 раз больше площади модели

Б) разобъем площадь контакта лунохода с поверхностью на много маленьких прямоугольников и рассмотрим один со сторонами А и В. У модели этот прямоугольник имеет стороны a = \frac{A}{x} \text{ и } b = \frac{B}{x} И площадь в x^2 раз меньше. Коэффициент пропорциональности x^2 «работает» для площади каждого прямоугольника.

В) аналогично, остается справедливым соотношение и для масс M = x^3 m