Рациональные системы с параметрами Часть 2: Часть 3
Математика, 10 класс
Задача 6 МГУ, геологический ф-т, 2007 (июль), № 7(8). Числа $x,~y,~z$ таковы, что $$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x+2 =z+y, \\ \displaystyle xy+z^2+22-9z = 0. \end{array} \right. $$ При каки...
Видео
Конспект
Задача 6
МГУ, геологический ф-т, 2007 (июль), № 7(8).
Числа $x,~y,~z$ таковы, что $$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle x+2 =z+y, \\
\displaystyle xy+z^2+22-9z = 0.
\end{array} \right.
$$ При каких значениях $z$ сумма $x^2+y^2$ максимальна? Найдите это максимальное значение.
Решение. В данном случае $z$ играет роль параметра. Выразим через этот параметр величину $x^2+y^2$. Систему уравнений можно преобразовать следующим образом: $$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle x+(-y) =z-2, \\
\displaystyle x(-y) = z^2+22-9z.
\end{array} \right.
$$ По обратной теореме Виета можно рассматривать величины $x$ и $-y$ как корни квадратного уравнения относительно $t$: $$
t^2-(z-1)t+ \left( z^2+22-9z \right)=0.
$$ Задача сводится к нахождению суммы квадратов корней квадратного трехчлена, так как $\displaystyle x^2+y^2=x^2+(-y)^2$. Для существования решений надо потребовать, чтобы дискриминант был неотрицательным: $$
\displaystyle D=(z-2)^2-4\left( z^2 - 9z + 22 \right)\geqslant 0 \Longleftrightarrow
z \in\left[\frac{14}{3};6\right].
$$ Далее, $$
\begin{array}{l}
\displaystyle x^2+y^2=(x+(-y))^2-2x(-y)=(z-2)^2-2 \left( z^2 - 9z + 22 \right)=\\
\displaystyle \qquad = -z^2+14z-40. \vphantom{\int}
\end{array}
$$ На промежутке $\displaystyle z \in\left[\frac{11}{3};5\right]$ производная $$
\displaystyle \left( -z^2+14z-40\right)'=-2z+14>0,
$$ поэтому максимальное значение $x^2+y^2=8$ достигается при значении $z=6$.
Ответ: Максимальное значение $x^2+y^2$ достигается при значении $z=6$ и равно $8$.
enddocument