Рациональные системы с параметрами Часть 1: Часть 1

Видео

Конспект

Линейные системы с параметрами

Начнем с решения систем линейных уравнений с параметрами.

Пример 1.1

При каких a система уравнений имеет решения? Найдите эти решения. \left\{ \begin{array}{l}

x + a y = 1, \\

a x + y = a^2.

\end{array} \right.

Из первого уравнения имеем x=1-ay . Подставим это выражение во второе уравнение и проведем исследование в соответствии с разделом <<Рациональные уравнения и неравенства>>. \left\{ \begin{array}{l}

x = 1- a y, \\

a -a^2y + y = a^2,

\end{array} \right.\Longleftrightarrow

\left\{ \begin{array}{l}

x = 1- a y, \\

y(1-a)(1+a) = a(a-1).

\end{array} \right. Во втором уравнении при a=1 переменная y принимает произвольные значения y=t,~~ t \in \mathbb{R} , тогда x=1-at . При a=-1 левая часть второго уравнения равна нулю, а правая отлична от нуля, поэтому решений не существует. При a\ne \pm 1 второе уравнение, а отсюда и вся система, имеет единственное решение.

Ответ: \left\{ \begin{aligned}

& a \ne \pm 1 \\

& x=\frac{1 + a + a^2}{a + 1} \\

& y=- \frac{a}{a+1}

\end{aligned} \right. ; \qquad

\left\{ \begin{aligned}

& a = 1 \\

& x=1 - t \\

& y=t \\

& t \in \mathbb{R}

\end{aligned} \right. ; \qquad если a = - 1 , то нет решений.

Задача 1.2

При каких a система уравнений имеет решения? Найдите эти решения. \left\{ \begin{array}{l}

2(a - 1)x - 2 y = a - 1, \\

4 x + (1 - a)y = 2,

\end{array} \right. Решение

Для упрощения вида системы обозначим b=a-1 : \left\{ \begin{array}{l}

2bx - 2 y = b, \\

4 x + by = 2,

\end{array} \right.\Longleftrightarrow

\left\{ \begin{array}{l}

y = bx-\frac{b}{2}, \\

4 x + by = 2.

\end{array} \right.\Longleftrightarrow

\left\{ \begin{array}{l}

y = bx-\frac{b}{2}, \\

4 x + b^2 x-\frac{b^2}{2} - 2=0.

\end{array} \right. Уравнение для x преобразуется к виду \displaystyle (4-b^2)x+\frac{b^2-4}{2}=0. Очевидно, что при b=\pm 2 переменная x может принимать любые значения. Тогда получаем, что либо x=t , то y=2t-1 при b=2 , либо y=-2t+1 при b=2 . Если b\ne \pm 2 , то \displaystyle x=\frac{1}{2} , а y=0 . Возвращаясь к параметру a , получаем ответ.

Ответ: если a \ne - 1 , a \ne 3 , то \displaystyle x=\frac{1}{2}; ~y=0 ;

если a = - 1 , то \displaystyle x= t; ~y=- 2t + 1 , t \in \mathbb{R} ;

если a = 3 , то \displaystyle x= t;~y= 2t - 1 , t \in

\mathbb{R} .

Эквивалентный ответ: если a \ne - 1 , a \ne 3 , то \displaystyle x=\frac{1}{2};~y= 0 ;

если a = - 1 , то \displaystyle x= \frac{1 - w}{2}; ~y= w , w \in \mathbb{R} ;

если a = 3 , то \displaystyle x= \frac{1 + w}{2}; ~y=w , \displaystyle w \in \mathbb{R} \vphantom{\int} .

Системы нелинейных уравнений с параметрами. Использование графиков

В этом разделе начнем с использования графиков для решения систем. Этот подход особенно удобен, когда не нужно находить сами решения, а требуется определить их число в зависимости от значений параметра.

Пример 1.3

В зависимости от значений параметра a определите количество решений системы \left\{ {\begin{array}{l}

\displaystyle x^2 + y^2 = a, \\

\displaystyle |x| + |y| = 1. \\

\end{array}} \right.

Решение.

sys_2 sys_1 При a <0 первое уравнение не имеет решений. При a \geqslant 0 изобразим на рисунке графики обоих уравнений системы (рис. 2). Графиком первого уравнения является семейство окружностей радиуса \sqrt a с центром в начале координат (при a = 0 окружность вырождается в точку). Второе уравнение описывает квадрат со стороной \sqrt 2 , точка пересечения диагоналей которого совпадает с началом координат. Непосредственно из приведенных графиков видно, что при a = 1/2 окружность вписана в квадрат и, следовательно, имеет с ним четыре общие точки; при a = 1 окружность описана около квадрата и, следовательно, также имеет с ним четыре общие точки; при 1/2 < a < 1 окружность будет иметь с квадратом восемь общих точек; при a < 1/2 или a > 1 окружность целиком лежит либо внутри квадрата, либо вне его и общих точек с ним в любом случае не имеет.

Ответ: если a \in (-\infty; 0,5) \cup (1;+\infty) , то нет решений;

если a = 0,5 и a = 1 , то четыре решения;

если a \in (0,5; 1) , то восемь решений.

Задача 1.4

В зависимости от значений параметра a определите количество решений системы \left\{ {\begin{array}{l}

\displaystyle x^2 + y^2 = 1, \\

\displaystyle |x| + |y| = a. \\

\end{array}} \right. Решение. Сначала построим окружность радиуса 1. Далее будем строить квадраты, удовлетворяющие уравнению \displaystyle |x| + |y| = a для различных a . Eсли a=0 , то эта одна точка, и общих точек с окружностью нет. Если 0<a<1 , то все еще нет общих точек с окружностью, а, следовательно, не существует и решений системы уравнений. Когда a=1 , у системы 4 решения, так как пересечение есть в 4 точках(отмечены черными кружками). Далее, при 1<a<\sqrt 2 пересечение в 8 точках(отмечены елыми кружками). При a=\sqrt 2 снова 4 точки пересечения (отмечены звездочками). А при a>\sqrt 2 решений нет

Ответ: если \displaystyle a \in \left(-\infty; 1 \right)\cup ( \sqrt 2;+\infty) , то нет решений;

если a = 1 или a =\sqrt{2} , то четыре решения;

если a \in \left(1; \sqrt 2\right) , то восемь решений.

Представляет также интерес эффект оптического обмана, возникающего при взгляде на рис. 2 и рис. 1 Трудно избавиться от ощущения, что квадрат на левом рисунке <<кривой>>, а на правом — <<кривая>> окружность. В том, что это действительно оптический обман, легко убедиться, если приложить к стороне квадрата линейку или просто посмотреть с большого расстояния, чтобы тонкие линии были не видны.

В ряде задач требуется найти значения параметра, при которых решение единственно или существует хотя бы одно решение. В этом случае также возможно применить графический метод.