Рациональные системы с параметрами Часть 2: Часть 1
Математика, 10 класс
Пример 1 ЕГЭ-2016, тренировочный вариант, № 18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система $$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x^2 + y^2 + 2(2y - x)a = 1 + 2a - 4a^2,\\ \d...
Видео
Конспект
Пример 1
ЕГЭ-2016, тренировочный вариант, № 18.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система $$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle x^2 + y^2 + 2(2y - x)a = 1 + 2a - 4a^2,\\
\displaystyle x^2 + y^2 +4(x - y)a = 4 + 4a - 7a^2
\end{array} \right.
$$ имеет единственное решение.
Решение.
После выделения полного квадрата система принимает вид: $$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle (x - a)^2 + (y + 2a)^2 = (1 + a)^2,\\
\displaystyle (x + 2a)^2 + (y - 2a)^2 = (2 + a)^2.
\end{array} \right.
$$ Если $a \ne - 1$, $a \ne - 2$, то уравнения описывают окружности радиусов $\displaystyle R_1 = |1 + a|$ и $\displaystyle R_2 = |2 + a|$ с центрами $\displaystyle O_1(a; - 2a)$ и $O_2(- 2a; 2a)$ соответственно. Система имеет единственное решение в случае касания окружностей, внешнего (расстояние между центрами $\displaystyle O_1O_2 = R_1 + R_2$) или внутреннего ($\displaystyle O_1O_2 = \left|R_1 - R_2 \right|$). Найдем расстояние между центрами: $$
\displaystyle O_1O_2 = \sqrt {9a^2 + 16a^2} = 5|a|.
$$ Тогда $$
\left[ \begin{array}{l}
\displaystyle 5|a| = |a + 1| + |a + 2|,\\
\displaystyle 5|a| = \left| |a + 1| - |a + 2| \vphantom{F^2} \right|.
\end{array} \right.
$$ Решениями первого уравнения совокупности являются $ a = 1$ и $\displaystyle a = - \frac{3}{7}$. Решениями второго уравнения являются $\displaystyle a = \pm \frac{1}{5}$.
При $a = - 1$ первая окружность вырождается в точку, а при $a = - 2$ — вторая. Непосредственной подстановкой этих значений параметра в систему можно убедиться, что при данных $a$ система решений не имеет.
Ответ: $\displaystyle - \frac{3}{7}$; $ \displaystyle - \frac{1}{5}$; $\displaystyle \frac{1}{5} \vphantom{\int}$; $1$.
Задача 2
ЕГЭ-2017, тренировочный вариант, № 18.
Найдите все положительные значения параметра $a$, при каждом из которых система $$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle (x - 2a + 3)^2 + (y - a)^2 = 2,25;\\
\displaystyle (x + 3)^2 + (y - a)^2 = a^2 + 2a + 1
\end{array} \right.
$$ имеет единственное решение.
Решение.
В отличие от предыдущей задачи, уравнения данной системы уже приведены к виду $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, то есть мы имеем два уравнения окружностей: первая, с центром в точке $O_1(2a-3;a)$ и радиуса $R_1=1,5$, и вторая, с центром в точке $O_1(-3;a)$ и радиуса $R_2=|a+1|$. Единственное решение системы возможно либо при внешнем касании окружностей, либо при внутреннем. То есть либо расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов $R_1$ и $R_2$, либо их разности. Найдем расстояние между центрами: $\displaystyle \sqrt{(2a-3+3)^2+(a-a)^2}=|2a|$. Тогда $$
\left[ \begin{array}{l}
\displaystyle R_1+R_2 = |2a|,\\
\displaystyle |R_1-R_2| = |2a|,
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
\displaystyle 1,5+|a+1| = |2a|,\\
\displaystyle |1,5-|a+1|| = |2a|.
\end{array} \right.
$$
раскрываем стандартным образом модули в совокупности уравнений и из первого уравнения получаем $\displaystyle a = \frac{5}{2}$. Решениями второго уравнения являются $\displaystyle a = \frac{1}{6}$.
При $a = - 1$ вторая окружность вырождается в точку. Непосредственной подстановкой этого значения параметра в систему можно убедиться, что тогда система решений не имеет.
Ответ: $\displaystyle \frac{5}{2}$; $\displaystyle \frac{1}{6}$.
Следующий пример интересен тем, что рассматривается непривычное сочетание кривых: окружность и гипербола.