Сложные системы. Различные типы функций: Часть 1
Математика, 10 класс
Сложные системы. Различные типы функций В следующем примере при исследовании количества решений существенно используются свойства конкретной задачи. Пример 1 Найдите все значения параметра $a$, при ко...
Видео
Конспект
Сложные системы. Различные типы функций
В следующем примере при исследовании количества решений существенно используются свойства конкретной задачи.
Пример 1
Найдите все значения параметра $a$, при которых система $$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle a \left( x^4 + 1 \right) =y-|x|+1, \\
\displaystyle x^2+ y^2 = 1
\end{array} \right.
$$ имеет единственное решение.
Решение.
В систему уравнений входят лишь четные функции переменной $x$, поэтому если $(x_0; y_0)$ — решение системы, то и $(- x_0; y_0)$ тоже будет решением системы. Отсюда вытекает, что решение будет единственным только если $x = 0$. При этом значении $x$ система принимает вид: $$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle a =y+1, \\
\displaystyle y^2 = 1,
\end{array} \right.
$$ откуда получаем два возможных значения параметра $a=0$ и $a=2$. Другие значения параметра не могут удовлетворить условиям задачи, но необходимо проверить, действительно ли при найденных значениях параметра $a$ система имеет только одно решение.
Пусть $a=0$. Тогда система принимает следующий вид: $$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle 0 =y-|x|+1, \\
\displaystyle x^2+ y^2 = 1,
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle|x|=y-1, \\
\displaystyle 2y^2+2y=0.
\end{array} \right.
$$ Второму уравнению удовлетворяют два различных значения $y$, причем для каждого можно найти соответствующее значение $x$, поэтому решение системы не является единственным, $a=0$ не удовлетворяет условию задачи.
Пусть $a=2$. Тогда $$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle 2x^4+1=y-|x|, \\
\displaystyle x^2+ y^2 = 1.
\end{array} \right.
$$ Очевидно, что $\displaystyle 2x^4\geqslant -|x|$, а из второго уравнения получаем, что $1\geqslant y$, следовательно, $\displaystyle 2x^4+1\geqslant y-|x|$. Знак равенства возможен только при $x=0, y=1$. Поэтому это решение системы уравнений единственно.
Ответ: $ 2$.
Далее рассмотрим системы , содержащие тригонометрические функции.
Пример 2
Найдите, при каких значениях параметра $a$ системы уравнений $$
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 0, \\
\displaystyle x^2 + y^2 = a \\
\end{array} \right.
\mbox{ и }
\left\{ \begin{array}{l}
\sin (x + y) = 0, \\
\displaystyle x^2 + y^2 = a \\
\end{array} \right.
$$ равносильны?
Решение.
Отметим, что при $a < 0$ обе системы не имеют решений, поэтому являются равносильными. Далее рассмотрим $a\geqslant 0$. Начнем с решения первой системы. Первое уравнение описывает прямую, проходящую через начало координат, второе — окружность с центром в начале координат радиуса $\displaystyle \sqrt a$ (см. рис. 35). Решениями системы будут две точки пересечения окружности радиуса $\sqrt {a}$ и прямой $y=-x$, если $a> 0$, и одна точка, если $a=0$. Теперь решим вторую систему. Ее можно записать, как $$ \left\{ \begin{array}{l}
x + y = \pi n, ~n \in\mathbb{Z},\\
\displaystyle x^2 + y^2 = a. \\
\end{array} \right.
$$
Sys_35
В отличие от первой системы, решениями первого уравнения являются параллельные прямые, среди которых есть и прямая $y=-x$ ($n=0$). Для равносильности систем необходимо выбрать такое значения параметра $a$, чтобы прямые $y=-x+\pi n$, где $ n \in\mathbb{Z}, n\ne 0$ не имели общих точек с окружностью. Из рис. 35 видно, что окружность не должна <<дойти>> до параллельных прямых $y=-x \pm \pi$, то есть ее радиус должен быть меньше, чем расстояние от начала координат до данных прямых, равное $\displaystyle \frac{\pi\sqrt 2}{2}$: $$
\sqrt a < \frac{\pi\sqrt 2}{2} \Longleftrightarrow
0 \leqslant a < \frac{\pi^2}{2}.
$$
Ответ: $ \displaystyle \left( - \infty; \frac{\pi^2}{2} \right)$.
Пример 3
Найдите, при каких значениях параметра $a$ система $$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle ax^2 + a - 1 = y - |\sin x|, \\
\displaystyle \tg^2 x + y^2 = 1 \\
\end{array} \right.
$$ имеет единственное решение.
Решение.
Поскольку в систему входят только четные функции переменной $x$, то если $(x_0, y_0)$ — решение системы, то и $(- x_0, y_0)$ тоже будет решением системы. Отсюда вытекает, что для единственности решения необходимо, чтобы $x_0 = 0$. При $x = 0$ система принимает вид: $$
\left\{ \begin{array}{l}
x=0,\\
\displaystyle a - 1 = y , \\
\displaystyle y^2 = 1. \\
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x=0,\\
\displaystyle a - 1 = y , \\
\left[ \begin{array}{l}
\displaystyle a = 0, \\
\displaystyle a = 2.
\end{array}\right.
\end{array} \right.
$$ Таким образом, значениями параметра, при которых решение единственно, могут быть только $a = 0$ и $a = 2$. Однако надо проверить, действительно ли решение при этих значениях параметра единственно. При $a = 0$ система принимает следующий вид: $$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle y = |\sin x| - 1 , \\
\displaystyle \tg^2 x + y^2 = 1\;\;. \\
\end{array} \right.
$$ Нетрудно видеть, что пары $(\pi n;-1)$, $n \in \mathbb{Z}$ являются решениями, значит решение системы не единственно.
При $a = 2$ имеем $$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle y = 2x^2 + |\sin x| + 1 , \\
\displaystyle \tg^2 x + y^2 = 1\;\;, \\
\end{array} \right.
$$ Из первого уравнения системы следует, что при $x=0$ достигается минимальное значение $y = 1$, и пара $x=0;~ y=1$ удовлетворяет и второму уравнению. При других значениях $x$ переменная $y$ принимает значения, большие 1, при этом второе уравнение системы не имеет решений. Отсюда вытекает, что при $a = 2$ система имеет единственное решение.
Ответ: $\displaystyle 2$.
И, наконец, система с двумя параметрами и показательной функцией.
Пример 4
МГУ, механико-математический ф-т, 1966.
Найдите все $a$, при которых система $$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle 2^{bx} +(a+1)by^2 = a^2, \\
\displaystyle (a-1)x^3+y^3 = 1 \\
\end{array} \right.
$$ имеет решение для любого $b$.
Решение.
Ключевыми словами в условии задачи являются <<для любого>>. Можно выбрать такое значение $b$, чтобы система имела наиболее простой вид, и отобрать те значения $a$, при которых она имеет решение (других $a$ нет!). Далее надо проверить, что при таких значениях параметра $a$ система имеет решение для любого $b$.
В нашем случае удобно взять $b=0$, тогда $$
\left\{ \begin{array}{l}
1 = a^2, \\
(a-1)x^3+y^3 = 1 \\
\end{array} \right.
$$ Отсюда получаем, что $a=\pm 1$. Теперь, рассматривая только эти значения параметра $a$, проверим, имеет ли система решение для любого $b$. Начнем с $a=1$. $$
\left\{ \begin{array}{l}
a=1,\\
2^{bx} +2by^2 = 1, \\
y^3 = 1, \\
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
a=1,\\
2^{bx} = 1-2b, \\
y= 1. \\
\end{array} \right.
$$ Из второго уравнения видно, что решение существует, если выполняется $1-2b>0$, то есть не для любого $b$.
Далее рассмотрим $a=-1$. Тогда $$ \left\{ \begin{array}{l}
a=-1,\\
2^{bx} = 1, \\
y^3 -x^3= 1.
\end{array} \right.
$$ Решением этой системы для любого $b$ будет $x=0$, $y=1$.
Ответ: $-1. $