Рациональные системы с параметрами Часть 2: Часть 2
Математика, 10 класс
Пример 3 МГУ, механико-математический ф-т, 2006, задача устного экзамена. Найдите q все значения параметра $a$, при каждом из которых система $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle 2xy-ax-2ay+a^2-...
Видео
Конспект
Пример 3
МГУ, механико-математический ф-т, 2006, задача устного экзамена.
Найдите q
все значения параметра $a$, при каждом из которых система
$$
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle 2xy-ax-2ay+a^2-2=0, \\
\displaystyle 4x^2+4y^2-8ax-4ay-7a^2-20a=0, \\
\end{array}} \right.
$$
имеет ровно два различных решения.
Решение. {Первое уравнение системы преобразуем с помощью группировки, а второе — методом выделения полного квадрата. Система принимает вид:
$$
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle 2y(x-a)-a(x-a)-2=0, \\
\displaystyle 4(x^2-2ax+a^2-a^2)+4(y^2-ay+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4})-7a^2-20a=0,
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
$$
$$
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle (2y-a)(x-a)-2=0, \\
\displaystyle 4(x-a)^2+4(y-\frac{a}{2})^2=12a^2+20a, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
$$
}
Sys_14
\caption{К примеру 3 \label{Sys_14.eps}}
$$
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle \left( y - \frac{a}{2} \right)(x-a)=1, \\
\displaystyle (x-a)^2 + \left( y - \frac{a}{2} \right)^2=3a^2+5a. \\
\end{array}} \right.
$$
Тогда после введения новых координат $x'=x-a$ и $\displaystyle y'=y-\frac{a}{2}$ получаем систему уравнений, где первое уравнение описывает гиперболу, а второе — окружность:
$$
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle x'y'=1, \\
\displaystyle \left( x' \right)^2 + \left( y' \right)^2=3a^2+5a. \\
\end{array}} \right.
$$
Два различных решения у системы будет тогда и только тогда, когда окружность касается гиперболы в точках $ x'=1,~y'=1$ и $x'=-1,~y'=-1$
(см. рис. \ref{Sys_14.eps}), то есть когда
$$2=3a^2+5a\Longleftrightarrow a=-2 \mbox{ или } a= \frac{1}{3}.$$
Ответ: $\displaystyle \frac{1}{3}; ~ -2$.
Задача 4
МГУ, механико-математический ф-т, 2006, задача устного экзамена.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система
$$
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle 3xy+3ax-ay-a^2-3=0, \\
\displaystyle 9x^2+9y^2-6ax+18ay+7a^2-2a-17=0 \\
\end{array}} \right.
$$
имеет ровно два различных решения.
Решение. {Первое уравнение системы преобразуем с помощью группировки, а второе — методом выделения полного квадрата. Система принимает вид:
$$
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle 3x(y+a)-a(y+a)-3=0, \\
\displaystyle (9x^2-6ax)+(9y^2+18ay)+7a^2-2a-17=0,
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
$$
$$
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle (3x-a)(y+a)=3, \\
\displaystyle (3x-a)^2+9(y+a)^2=3a^2+2a+17, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
$$
$$
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle (x-\frac{a}{3})(y+a)=1, \\
\displaystyle (x-\frac{a}{3})^2+(y+a)^2=\frac{3a^2+2a+17}{9}. \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
$$
Тогда после введения новых координат $u=x-\frac{a}{3}$ и $\displaystyle v=y+a$ получаем систему уравнений, где первое уравнение описывает гиперболу, а второе — окружность:
$$
\left\{ {\begin{array}{l}
\displaystyle uv=1, \\
\displaystyle u^2 + v^2=\frac{3a^2+2a+17}{9}. \\
\end{array}} \right.
$$
Два различных решения у системы будет тогда и только тогда, когда окружность касается гиперболы в точках $ u=1,~v=1$ и $u=-1,~v=-1$, то есть когда
$$2=\frac{3a^2+2a+17}{9}\Longleftrightarrow a=-1 \mbox{ или } a= \frac{1}{3}.$$
Ответ: $\displaystyle \frac{1}{3}; ~ -1$.
Ответ: $2$; $0$.
Пример 5
МГУ, геологический ф-т, 2007 (июль), № 7(8).
Числа $x,~y,~z$ таковы, что
$$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle x+1 =z+y, \\
\displaystyle xy+z^2+14-7z = 0.
\end{array} \right.
$$
При каких значениях $z$ сумма $x^2+y^2$ максимальна? Найдите это максимальное значение.
Решение. {В данном случае $z$ играет роль параметра. Попробуем выразить через этот
параметр величину $x^2+y^2$. Систему уравнений можно преобразовать следующим образом:
$$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle x+(-y) =z-1, \\
\displaystyle x(-y) = z^2 + 14 - 7z ,
\end{array} \right.
$$
По обратной теореме Виета можно рассматривать величины $x$ и $-y$ как корни квадратного уравнения относительно $t$:
$$
t^2-(z-1)t+ \left( z^2 + 14 - 7z \right)=0.
$$
Задача сводится к нахождению суммы квадратов корней квадратного трехчлена, так как $\displaystyle x^2+y^2=x^2+(-y)^2$.
Для существования решений надо потребовать, чтобы дискриминант был неотрицательным: $$
\displaystyle D=(z-1)^2-4\left( z^2 - 7z + 14 \right)\geqslant 0 \Longleftrightarrow
z \in\left[\frac{11}{3};5\right].
$$
Далее,
$$
\begin{array}{l}
\displaystyle x^2+y^2=(x+(-y))^2-2x(-y)=(z-1)^2-2 \left( z^2 + 14 - 7z \right)=\\
\displaystyle \qquad = -z^2+12z-27. \vphantom{\int}
\end{array}
$$
На промежутке $\displaystyle z \in\left[\frac{11}{3};5\right]$ производная
$$
\displaystyle \left( - z^2 + 12z - 27 \right)'=-2z+12>0,
$$
поэтому максимальное значение $x^2+y^2=8$ достигается при значении $z=5$.
Ответ: Максимальное значение $x^2+y^2$ достигается при значении $z=5$ и равно $8$.}