Рациональные системы с параметрами Часть 1: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 1.10

ЕГЭ-2012, основной экзамен, С5.

Найдите все положительные значения параметра $a$, при каждом из которых система $$

\left\{ \begin{array}{l}

\left(|x|-4\right)^2+\left(y-3\right)^2=4,\\

(x+1)^2+y^2=a^2

\end{array} \right.

$$ имеет единственное решение.

Решение.

Если $x\ge 0$, то первое уравнение представляет собой окружность радиуса 2 с центром в точке $(4;3)$. Если $x\le 0$, то первое уравнение представляет собой окружность радиуса 2 с центром в точке $(-4;3)$. изобразим эти две окружности на рисунке. Центр окружности,представленной вторым уравнением системы, лежит в точке $(-1;0)$. Поэтому с ростом радиуса этой окружности $a>0$ она первый раз коснется внешним образом левой окружности, центр которой в точке $(-4;3)$. Это интересующий нас случай единственного решения. Второй вариант соответствует внутреннему касанию с правой окружностью (центр в точке $(4;3)$. В остальных случаях либо нет решения, либо оно не является единственным.

Внешнее касание будет иметь место, если расстояние $O_1 O$ будет равно сумме радиусов: $$ \sqrt{(-4+1)^2+(3-0)^2}=2+a\Longleftrightarrow a=3\sqrt 2-2.$$ Внутреннее касание будет иметь место, если расстояние $O_2 O$ будет равно разности радиусов: $$ \sqrt{(4+1)^2+(3-0)^2}=a-2\Longleftrightarrow a=3\sqrt{34}+2.$$

Ответ: $\displaystyle 3\sqrt{2}-2$; $\displaystyle 2+\sqrt{34}$.