Обратная функция. Построение множеств на плоскости.: Часть 3
Математика, 9 класс
\underline{Задача.} Найти множество точек на плоскости, удовлетворяющих неравенству \left| y-x \right| \leqslant 3. \underline{Решение.} После раскрытия модуля получаем \left[ \begin{array}{lll} \left...
\underline{Задача.}
Найти множество точек на плоскости, удовлетворяющих неравенству
\left| y-x \right| \leqslant 3.
\underline{Решение.}
После раскрытия модуля получаем
\left[
\begin{array}{lll}
\left\{
\begin{array}{lll}
y-x \geqslant 0,\\
y-x \leqslant 3,
\end{array}\right. \\
\left\{
\begin{array}{lll}
y-x<0,\\
-y+x \leqslant 3,
\end{array}\right.
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
\left\{
\begin{array}{lll}
y\geqslant x,\\
y\leqslant 3+x,
\end{array}\right.\\
\left\{
\begin{array}{lll}
y\leqslant x,\\
y\geqslant x-3.
\end{array}\right.
\end{array}\right. Оба множества имеют общую границу y=x . Границы множеств y=3+x и y=x-3 входят в решение, так как неравенства нестрогие.
image.png Иллюстрация к решению
Данную задачу можно решить другим способом. Еще до раскрытия модуля построим границу:
\left| y-x \right| = 3.
Возведем в квадрат:
\left( y-x \right) ^2 = 9,
\left( y-x \right)^2 - 9 = 0,
\left( y-x-3 \right) \left( y-x+3 \right) = 0.
Отсюда получаем выражения для границ -- y=x+3 и y=x-3 , делящих плоскость на три области. Чтобы определить, какая из областей удовлетворяет неравенству, можно рассмотреть точки из каждой области и напрямую проверить, удовлетворяют ли они неравенству.
\underline{Задача.}
Определить множество точек на плоскости, удовлетворяющих неравенству
x^2+y^2-2x+4y \leqslant -1.
\underline{Решение.}
Выделим полные квадраты:
x^2-2x+1-1+y^2+4y+4-4 \leqslant -1,
\left( x-1 \right)^2 + \left( y+2 \right)^2 \leqslant 4.
Граница этого множества удовлетворяет уравнению окружности с центром в точке (1;-2) и радиусом 2 :
\left( x-1 \right)^2 + \left( y+2 \right)^2 = 4.
Эта окружность делит плоскость на две части -- внутри и вне окружности. Рассмотрим точку (-1;2) (центр окружности). После подстановки этой точки в исходное неравенство получаем 0\leqslant 4 . Неравенство очевидным образом выполняется. Значит, точки, удовлетворяющие исходному неравенству, лежат внутри окружности (включая границу).
image.png Иллюстрация к решению