Обратная функция. Построение множеств на плоскости.: Часть 1
Математика, 9 класс
Обратные функции Пусть y=f(x) на отрезке \left[ a,b \right] принимает значения \left[ \alpha ,\beta \right] . Если эта функция взаимно однозначна, то существует функция f^{-1}(x) , \textbf{обратная фу...
Обратные функции
Пусть y=f(x) на отрезке \left[ a,b \right] принимает значения \left[ \alpha ,\beta \right] .
Если эта функция взаимно однозначна, то существует функция f^{-1}(x) , \textbf{обратная функция} :
x = f^{-1}(y).
Область определения (значения) обратной функции -- это область значения (определения) прямой функции.
\underline{Пример.}
Рассмотрим функцию y=x^2 на отрезке [0,2] . Область значений этой функции -- [0,4] .
image.png Иллюстрация к примеру
Рассматриваемая функция является взаимно-однозначной (каждому y соответствует только один x ).
Найдем обратную функцию. Понятно, что если y=x^2 , то \sqrt{y} = x . Значит, обратная функция имеет вид y=\sqrt{x} .
image.png Иллюстрация к примеру
Отметим, что при попытке расширить область определения функции y=x^2 (например, на отрезок [-1;2] ) мы столкнемся с проблемой -- функция перестанет быть однозначной.
\underline{Замечание.}
Функция точно является обратимой, если на рассматриваемом отрезке [a,b] функция является строго монотонной.
\underline{Замечание.}
Графики прямой и обратной функций симметричны друг другу относительно прямой y=x .
image.png Иллюстрация к примеру
\underline{Задача.}
Функция y = 2x-1 задана на
x \in \left[ -1;3 \right] . Получите обратную функцию и постройте ее график.
\underline{Решение.} Построим график прямой функции. Область значений прямой функции -- [-3;5] .
image.png Выразим x из уравнения, задающего прямую функцию
x = \frac{y+1}{2}.
Указанные уравнения являются равносильными. Чтобы перейти к обратной функции, нужно переобозначить x\leftrightarrow y :
y = \frac{x+1}{2}.
Область определения обратной функции совпадает с область значений прямой функции, то есть
x \in \left[ -3;5 \right] .
С другой стороны, область значений обратной функции -- это область определения прямой функции, то есть
y \in \left[ -1;3 \right] . График обратной функции представлен на рисунке.
image.png Иллюстрация к решению
\underline{Задача.}
Найдите обратную к y = x^2-2x функцию на множестве
1. \left( 0;+\infty \right) ,
2. \left( 1;+\infty \right) ,
3. \left( -\infty;0 \right) .
\underline{Решение.}
Построим график исходной функции. Приведем выражение к виду:
y = x^2-2x+1-1= \left( x-1 \right)^2 - 1.
image.png Иллюстрация к решению
Теперь рассмотрим указанные в условии задачи множества. Очевидно, на (0;+\infty) нельзя построить обратную функцию, так как на этом луче прямая функция не обладает свойством однозначности. С другой стороны, на луче (1;+\infty) такой проблемы нет -- в этом случае функция является строго монотонной.
Чтобы получить обратную функцию, выразим x из уравнения, задающего прямую функцию:
y = \left( x-1 \right)^2 - 1,
\left( x-1 \right) ^2 = y+1,
x-1 = \sqrt{y+1},
x = \sqrt{y+1} +1.
Таким образом, обратная функция имеет вид
y = \sqrt{x+1} +1.
Ее график представлен на рисунке.
image.png Рассмотрим третье множество -- (-\infty;0) . На нем прямая функция является строго монотонной, а значит, обладает свойством взаимной однозначности. Получим обратную функцию. Для этого уравнение исходной функции
\left( x-1 \right)^2 = y+1
преобразуем следующим образом:
\sqrt{\left( x^2-1 \right)^2} = y+1,
\left| x-1 \right| = \sqrt{y+1},
1-x = \sqrt{y+1},
x = 1-\sqrt{y+1}.
Отсюда получаем выражение для обратной функции:
y = 1-\sqrt{x+1}.
Ее график представлен на рисунке.
image.png Иллюстрация к решению