Графики функций, содержащие модуль. Периодические функции.: Часть 1

Видео

Конспект

Графики функций, содержащие модуль

Правила построения графиков функций, содержащих модули

Скорее всего, вы встречались с одним из двух определений модуля числа. Первое из них звучит следующим образом: модулем действительного числа a называется расстояние от начала координат O до точки с координатой a на числовой прямой.

image.png Модулем числа называется расстояние от него до начала координат.

Это красивое и лаконично звучащее определение, которое, к тому же, будет удобно обобщить для комплексных чисел, когда вы с ними познакомитесь. Однако для решения алгебраических задач оно совершенно не подходит, поэтому давайте сразу сформулируем ещё один вариант.

image.png График функции y = |x| .

Модулем действительного числа a называется само число a , если a \geqslant 0 и -a , если a<0 , то есть |a|=\left[

\begin{array}{l}

a,~~~ a \geqslant 0, \\

-a,~ a < 0. \\

\end{array}\right.

В соответствии с этим определением нетрудно построить график функции y = |x| : разделим координатную плоскость на две области: справа от оси Oy абсцисса каждой точки принимает только неотрицательные значения, а следовательно, во всей правой полуплоскости график модуля в точности совпадает с графиком функции y = x . Аналогично в левой полуплоскости он совпадает с графиком функции y = -x , следовательно соединив полученные лучи, мы и получим необходимый нам график.

Как и положено графику чётной функции, он оказался симметричным относительно оси ординат (попробуйте сами строго доказать, что функция y = |x| чётная).

В некоторых важных случаях график функции, содержащий модуль, можно построить и другими, более экономичным способами:

image.png Графики функций y = f(|x|) (синий) и y = |f(x)| (оранжевый).

1. Для того, чтобы построить график функции y = f(|x|) , зная график функции y(x)=f(x) , достаточно построить y(x)=f(x) при x \geqslant 0 и отразить его симметрично относительно оси Oy . Из определения модуля следует, что функция y(x)=f(|x|) является четной.

2. Для того, чтобы построить график y(x)=|f(x)| , зная график y(x)=f(x) , нужно оставить без изменения часть графика y(x)=f(x) , где f(x)\geqslant 0 ; ту часть графика, где f(x)<0 , следует зеркально отразить относительно оси Ox .

Задачи для самостоятельного решения:

По какому алгоритму следует строить график функции y = |f(|x|)| ?

Графики линейных функций, содержащих модули

Попробуем применить описанные выше алгоритмы к конкретным задачам. Начнём с графиков линейных функций

y_1(x) = 2 - |x| \quad и \quad y_2 (x)= |2 - |x| |. Такие графики будем строить, начиная <<изнутри>>, то есть сначала построим график y=|x| ; потом отразим его относительно оси Ox , получив график y=-|x| ; после этого сдвинем вдоль оси Oy на две единицы вверх и получим первый искомый график y_1(x) = 2 - |x| .

image.png Построение графиков функций y_1(x) = 2 - |x| и y_2 (x)= |2 - |x| | .

Для того, чтобы построить второй график, учтем, что при 2 - |x| \geqslant 0 графики функций y_2 (x) и y_1 (x) совпадают, а при 2 - |x| <0 выполняется соотношение y_2 (x)=- y_1 (x) , то есть график функции y_2 (x) может быть получен из графика y_1 (x) с помощью отражения <<наверх>> той части графика, которая оказалась ниже оси Ox .

Попробуйте самостоятельно построить график функции y = 2 - ||x| - 4| по этому алгоритму и сравните с тем, что записано на видео.

image.png Построение графика функции y = 2 - ||x| - 4| .

Задачи для самостоятельного решения:

Постройте графики следующих функций: y = |3 - |x||, ~~~ y = |3 + |x||, ~~~ y = 3 - ||x|-2|.