Графики функций, содержащие модуль. Периодические функции.: Часть 2

Видео

Конспект

Графики квадратичных функций, содержащих модули, первая задача

Рассмотрим теперь две задачи, связанные с построением графиков квадратичных функций с модулем, и первой функцией будет f(x) = x^2 - 6|x| + 5.

Для быстрого построения графика этой функции нам потребуется заметить два факта. Во-первых непосредственной проверкой легко убедиться, что функция чётная: f(-x) = (-x)^2 - 6|-x| + 5 = x^2 - 6|x| + 5 = f(x), входящие в неё квадрат и модуль <<съедают>> знак минус у аргумента. Следовательно график функции y = f(x) симметричен относительно оси Oy , а значит, построив <<правую>> половину графика, ту, которая находится в полуплоскости x \geqslant 0 , мы без труда достроим и левую, пользуясь соображениями симметрии.

image.png Построение графика функции f(x) = x^2 - 6|x| + 5 .

В свою очередь, построить правую половину графика не очень сложно, если вовремя заметить, что в области x \geqslant 0 функция y = f(x) становится неотличима от квадратичной функции g(x) = x^2 - 6x +5 , не содержащей модуля.

Теперь построим график функции y = g(x) либо при помощи выделения полного квадрата и параллельного переноса, либо найдя координаты вершины и точек пересечения с осями координат (подробно процедура построения графика изложена в видео).

Наконец, график чётной функции y = f(x) получается отражением правой половины построенной параболы налево. Посмотрите, каким получился график на видео и сверьте со своим ответом.

Задачи для самостоятельного решения:

Постройте графики следующих функций: y = x^2 - 2|x| - 3, ~~~ y = - x^2 - 2|x| + 3.

Графики квадратичных функций, содержащих модули, вторая задача

В пару к предыдущей задаче построим также график функции f(x) = |x^2 - 6x + 5|.

Эта функция, в отличие от предыдущей, не обладает свойством чётности, однако построить её график будет ничуть не сложнее. Как и в прошлый раз, начнём с построения графика функции g(x) = x^2 - 6x + 5, не содержащей модуля. Когда мы строили эту параболу в предыдущей задаче, мы успели вычислить нули этой функции: ими оказались точки (1,0) и (5,0) . Сейчас же нас интересуют не столько сами нули, сколько интервалы, на которых функция g(x) принимает положительные и отрицательные выражения: при x \in (1,5) значение функции y=g(x) отрицательное, а во всех остальных точках – положительное.

image.png Построение графика функции f(x) = |x^2 - 6x + 5| .

Теперь для построения графика искомой функции y=f(x) осталось сделать последний шаг: дугу параболы, заключённую между точками (1,0) и (5,0) нужно, в соответствии с нашим алгоритмом, отразить наверх. На этом наша работа будет окончена, так как на остальных участках области определения значения функций совпадают.

Заметим, что вершина параболы g(x) = x^2 - 6x + 5 , заключённая между корнями, тоже отразится относительно оси Ox , подарив функции y=f(x) локальный максимум в точке x=3 со значением 4 .

Задачи для самостоятельного решения:

Постройте графики следующих функций: y = |x^2 - 2x - 3|, ~~~ y = |- x^2 - 2x + 3|.

Постройте графики следующих функций: y = |x^2 - 2|x| - 3|, ~~~ y = |- x^2 - 2|x| + 3|.

Множества точек на плоскости. Если под модулем y

Мы рассмотрели способы построения функций y = f(|x|) и y = |f(x)| , и осталось лишь одно место, куда мы пока ещё не добавляли модуль – это левая часть. И на это были веские причины, поскольку уравнение |y| = f(x), которое мы будем рассматривать сейчас, не задаёт функцию. В этом легко убедиться, если попробовать построить геометрическое место точек, этому уравнению удовлетворяющих.

image.png Зная график функции y = f(x) , можно построить множество точек, удовлетворяющих уравнению |y| = f(x)

Попробуйте вслед за мной нарисовать произвольный график функции, лучше всего, если он будет пересекать ось Ox в нескольких местах. Теперь отметьте на нём произвольную точку с координатами (x,f(x)) , лежащую выше оси Ox (это важно), и отразите её относительно оси абсцисс в нижнюю полуплоскость. Вторая точка будет иметь координаты (x,-f(x)) , и нетрудно заметить, что нашему уравнению |y| = f(x) она точно так же удовлетворяет.

У каждой точки графика функции, лежащей выше оси абсцисс, найдётся соответствующая симметричная точка, которая тоже должна принадлежать нашему множеству. А так как первая их координата совпадает, то и получается, что целому ряду значений x будут соответствовать сразу по два разных значения y . А значит перед нами совершенно точно не график функции, а уравнение |y| = f(x) не задаёт функцию, зависящую от x .

Несмотря на это, построить на координатной плоскости геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, мы сможем без труда, воспользовавшись точно такими же приёмами, которые мы описали ранее.

Как и в предыдущей задаче, нам нужно отдельно рассмотреть каждый из участков, на котором функция сохраняет свой знак. Если на каком-то интервале функция имеет положительное значение, то каждая точка графика, попавшая на этот интервал, остаётся с нами и войдёт в искомое множество. А ещё в наше множество попадут дуги, симметричные им относительно оси абсцисс.

А вот на интервалах, где функция y = f(x) оказалась отрицательной, ни одной точки мы построить не сможем: действительно, если при некотором значении x функция y = f(x) оказалась отрицательной, то уравнение |y| = f(x) при этом же значении x решений попросту не имеет.

Таким образом, алгоритм построения геометрического места точек, координаты которых удовлетворяют уравнению |y| = f(x) оказывается несложным: туда войдёт каждая точка графика функции y = f(x) , лежащая выше оси абсцисс, войдут отражения таких точек относительно оси Ox , а тем значениям x , при которых функция y = f(x) отрицательна, ни одна точка не соответствует.

Проиллюстрируем это следующей задачей: построим множество точек на координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению |y| = x^2 - 6x + 5.

image.png Построение множества точек, удовлетворяющих уравнению |f(x)| = x^2 - 6x + 5 .

Начнём мы, конечно, с уже знакомого нам графика функции g(x) = x^2 - 6x + 5 , постройте его ещё раз. Нужно вновь рассмотреть каждый из трёх участков по отдельности, и начнём мы с интервала x \in (1,5) между нулей функции. Так как там g(x) отрицательна, то дугу, соединяющую точки (1,0) и (5,0) мы должны убрать. В наше множество она не войдёт. А вот два луча, на которых функция положительна, войдут в изображение искомого множества. Более того, они будут <<продублированы>> своими отражениями относительно оси абсцисс, и фигура, которая получится у нас в итоге, будет симметрична относительно оси Ox . А вот вершина параболы, к примеру, в неё не войдёт.

Задачи для самостоятельного решения:

Постройте множества точек на координатной плоскости, удовлетворяющие следующим уравнениям: |y| = x^2 - 2x - 3, ~~~ |y| = - x^2 - 2x + 3 ~~~ |y| = 1 - x^2.

Постройте множества точек на координатной плоскости, удовлетворяющие следующим уравнениям: |y| = |3 - |x||, ~~~ |y| = |3 + |x||, ~~~ |y| = 3 - ||x|-2|.