Графики функций, содержащие модуль. Периодические функции.: Часть 3

Видео

Периодические функции. Задачи

\underline{Задача.}

Пусть y=f(x) периодическая с T=4 .

Также известно, что f(2)=3 . Найти значение выражения

3f\left( -2 \right) - f\left( 10 \right).

\underline{Решение.}

По определению периодической функции,

f\left( x-T \right) = f\left( x \right) = f\left( x+T \right).

В частности,

f\left( -2 \right) = f\left( 2 -T\right) = f\left( 2-4 \right) = 3.

С другой стороны,

f\left( 10 \right) = f\left( 2+2\cdot 4 \right) = f\left( 2+2T \right) = 3.

Отсюда получаем

3f\left( -2 \right) - f\left( 10 \right) = 9-3 = 6.

Эскиз графика рассматриваемой функции представлен на рисунке

image.png Иллюстрация к решению

\underline{Задача.}

y=f(x) периодическая с периодом 8 . Пусть f(x) также четная. Пусть на отрезке \left[ 0;4 \right] f(x) совпадает с y=x^2-4x+2 .

Сколько нулей у f(x) на \left[ -6;8 \right] ?

Чему равно f(11) ?

\underline{Решение.}

Выделим полный квадрат у функции, задающей параболу:

y = x^2 -4x+2 = x^2-4x+4-2=\left( x-2 \right) ^2-2.

Построим график функции f(x) .

Учтем, что функция четная. Значит, ее график симметричен. Таким образом, на отрезке \left[ -4;0 \right] график функции имеет тот же вид, что и на \left[ 0;4 \right] . Отметим также, что период функции равен 8 , то есть совпадает с длиной отрезка \left[ -4;4 \right] .

image.png Иллюстрация к решению

Из графика видно, что на отрезке \left[ -6,8 \right] функция имеет 7 нулей.

Чтобы найти значение f(11) , воспользуемся свойством периодичности: f(3)=f(11) . С другой стороны, в точке 3 функция f(x) совпадает с параболой:

f\left( 3 \right) =9-12+2=-1.