Свойства функций и их графики: Часть 1

Видео

Конспект

Свойства функций

Определение и основные свойства функций

Будем говорить, что задана функция y = f(x) в данной области изменения переменной X=\{ x \} , если каждому значению x \in X ставится в соответствие единственное действительное значение y = f(x) , составляющее некоторое множество Y = \{ y \} .

Множество X носит название области определения функции f(x) ; множество Y называется множеством значений этой функции. (Понятие множества относится к основным неопределяемым понятиям математики.)

Примерами могут служить функции y = x^2 , заданная на всей числовой оси, или y = -\sqrt{x} , в область определения которой входят только неотрицательные числа. Подумайте сами, какими будут области значения этих функций. Решение уравнения x^2+y^2=25 нельзя представить одной функцией y = f(x) , поскольку при заданном значении x уравнению удовлетворяют два различных значения y , что противоречит определению функции. При необходимости решение такого уравнения можно записать как совокупность двух функций y_1(x) = + \sqrt{25-x^2} , y_2(x) = - \sqrt{25-x^2} .

Рассмотрим основные свойства функций.

Четность и нечетность.

Функция y =f(x) называется четной, если для любого x из области определения число (-x) также принадлежит области определения и справедливо равенство f(x)=f(-x).

Функция y = -\sqrt{x} которую мы рассмотрели ранее, не является чётной, так как она не удовлетворяет первому условию (её область определения состоит только из неотрицательных чисел), а функция y = x не является чётной в силу второго условия. Примером чётной функции может служить y = x^2 , для которой цепочка равенств f(–x) = (–x)^2 = x^2 = f(x) справедлива для всех значений x из области определения функции.

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого x из области определения, число (-x) также принадлежит области определения и справедливо равенство f(-x)=-f(x).

Вернувшись к функции y = -\sqrt{x} сразу отметим, что она не является нечётной функцией, поскольку условие на область определения осталось тем же самым. Также не будет нечётной и функция y = x^2 . А вот для функции y = x^3 можем записать следующую цепочку равенств: f(–x) = (–x)^3 = –x^3 = –f(x) , справедливую для всех x из области определения, это нечётная функция.

Происхождение названий чётных и нечётных функций, скорее всего, вам уже очевидно: степенная функция с чётной степенью оказывается чётной функцией, а нечётная степень порождает функцию нечётную, но, конечно, проявляться эти свойства будут и у функций из других классов (например, тригонометрическая функция y = \sin(x) — нечётная, а y = \cos(x) — чётная.

Наконец вы уже наверняка обратили внимание на то, что ряд функций не обладает ни свойством чётности, ни свойством нечётности. Они называются функциями общего вида, и примером такой функции может служить уже рассмотренная нами y = -\sqrt{x} область определения которой асимметрична, или, к примеру, функция y = x + 2 , определённая везде.

Графики чётных и нечётных функций

Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек на координатной плоскости, координаты которых имеют вид (x; f(x)) .

image.png

График чётной функции.

image.png

График нечётной функции.

Подробнее о графиках функций мы поговорим на следующем занятии, а сейчас заметим только, что у рассмотренных выше свойств функций имеется чёткая геометрическая интерпретация: график четной функции симметричен относительно оси ординат (например, y = x^2 ), поскольку для каждой точки графика (x; f(x)) симметричная ей точка (-x; f(x)) также обязательно попадёт на график. В свою очередь график нечетной функции симметричен относительно начала координат (к примеру, y = x^3 ).

Задачи для самостоятельного решения:

Найдите область определения и область значений, а также проверьте на чётность и нечётность следующие функции: y = x^{-2}, y= x^{-3}, y = x^2+|x|, y = |x+4|, y = |x| + 4. Попробуйте построить их графики, чтобы убедиться в правильности ваших выводов.

Периодические функции

Периодичность. Функция y = f(x) называется периодической, если существует число T\not =0 такое, что для любого значения x из области определения функции x+T и x-T также принадлежат области определения, и справедливы равенства {f(x-T)=f(x)=f(x+T)} .

Хорошим примером периодической функции может служить дробная часть числа y = \{x\} = x - [x] . Если вы не знакомы с этой функцией и её графиком, внимательно посмотрите прилагающееся видео.

image.png

График функции y = \{x\} .

Нетрудно показать, что в качестве периода функции y = \{x\} можно взять число 1 : действительно, для всякого действительного числа x числа x+1 и x-1 также лежат в области определения нашей функции, и их значения совпадают: \{x+1\} = x+1-[x+1] = x+1 - ([x]+1) = x-[x] = \{x\}. Однако, взглянув на график этой функции, вы можете заметить, что не только число 1 обладает подобным свойством. Точно такие же рассуждения мы можем применить к любому целому числу,причём не только положительному, но и отрицательному. Единственным исключением будет число 0 .

Бесконечно много периодов можно выделить у любой периодической функции: если у неё нашёлся один период T , то числа \pm 2T , \pm 3T , …также подойдут в качестве периодов. Поэтому обычно (но далеко не всегда) под словом период подразумевается наименьший положительный период функции, и для функции y = \{x\} таким периодом будет число 1 .

Наличие свойств четности или периодичности у функций позволяет исследовать поведение функции не на всей области определения в более узкой области: для неотрицательных x в случае четной (или нечетной) функции и для \displaystyle x \in \left[x_0; x_0 + T \right] в случае периодической функции с периодом T , где x_0 — какая либо точка из области определения функции.

Задачи для самостоятельного решения:

Найдите наименьший положительный период функций y = \{3x\}+1 , y = \{\frac{x}{2}\} , y = \sin(\frac{2x}{3}) .

Приведите пример периодической функции, у которой нет наименьшего положительного периода. Какие числа будут являться её периодами?