Свойства функций и их графики: Часть 2

Видео

Конспект

Монотонные функции

Возрастание и убывание функции.

Функция называется y = f(x) возрастающей (неубывающей) на некотором промежутке, если для любых значений x_1 , x_2 из этого промежутка, таких, что x_2 > x_1 , выполнено неравенство f(x_2) > f(x_1) ( f(x_2) \geqslant f(x_1)) .

Примером возрастающей на всей области определения функции может служить y = x , попробуйте самостоятельно придумать ещё несколько примеров возрастающих или неубывающих функций.

Аналогично вводится понятие убывающей (невозрастающей) функции: Функция называется y = f(x) убывающей (невозрастающей) на некотором промежутке, если для любых значений x_1 , x_2 из этого промежутка, таких, что x_2 > x_1 , выполнено неравенство f(x_2) < f(x_1) ( f(x_2) \leqslant f(x_1)) .

image.png Примеры графиков монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций.

Обратите внимание, что в определении убывающей функции неравенства для x_1, x_2 и их значений f(x_1), f(x_2) имеют противоположные по направлению знаки. Подумайте сами, что будет, если <<развернуть>> оба эти неравенства.

Обратите внимание, что хорошо известная вам функция y(x)=x^2 , является возрастающей на полуоси x \in (0; + \infty) и убывающей на полуоси x \in (- \infty; 0) , то есть она не монотонна на всей области определения, но имеет два отдельных промежутка монотонности.

image.png Функция y = x^2 не обладает свойством монотонности на всей числовой прямой.

Экстремумы функции

Экстремумы. Для того чтобы строго записать определение локального экстремума, нам понадобится понятие окрестности точки.

Окрестностью точки x_{0} назовем симметричный интервал с центром в этой точке \left( {x_{0} - \varepsilon ,x_{0} + \varepsilon} \right) , где \varepsilon — некоторое положительное вещественное число.

image.png В окрестностях точек x_0 и x_1 выполнено определение минимума и максимума соответственно.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x_{0} .

Говорят, что функция f(x) имеет в точке x_{0} локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки x_{0} , в которой при x \ne x_{0} выполняется неравенство f\left( {x} \right) \leqslant f\left( {x_{0}}

\right) (соответственно f\left( {x} \right) \geqslant f\left( {x_{0}} \right) ).

Примеры экстремумов.

Примерами экстремумов могут служить x_0=0 для параболы y = -x^2 — точка максимума, x_0=0 для функции y = |x| — точка минимума.

Обратите внимание, что значение функции в точке минимума и максимума не обязаны быть наименьшим и наибольшим значениями функции. Более того, в будущем вам предстоит столкнуться в том числе с такими функциями, у которых значение в одном из локальных максимумов может оказаться меньше, чем значение в локальном минимуме.

image.png График функции, у которой есть несколько минимумов и максимумов. Её минимальное значение не принимается в точке локального минимума.

Задачи для самостоятельного решения:

Приведите пример функции, у которой найдётся локальный максимум, значение в котором меньше, чем в каком-нибудь локальном минимуме той же функции.