Свойства функций и их графики: Часть 3

Видео

Конспект

Функции и их графики

Некоторые простейшие функции

Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек на координатной плоскости, координаты которых имеют вид (x; f(x)) .

image.png

График функции y = f(x) .

Не следует путать саму функцию с её графиком и говорить, что << y = x^2 — это парабола>>, это разные понятия. Правильнее будет сказать, что графиком квадратичной функции будет являться фигура под названием парабола, таким обращом понятие графика функции позволяет построить связь между алгеброй и геометрией.

Вспомним графики некоторых хорошо известных функций.

Линейная функция y(x)=kx+b .

Графиком линейной функции является прямая. Эта функция определена при всех x \in {\mathbb{R}} и, в большинстве случаев (если коэффициенты k и b отличны от нуля) является функцией общего вида без периодов. Однако свойством монотонности она обладает: при положительных значениях углового коэффициента k линейная функция возрастает, а при отрицательных — убывает.

image.png Графики линейной функции в общем случае, а также в частных случаях при b = 0 (прямая пропорциональность) или k = 0 (константа).

Отдельного рассмотрения заслуживают линейные функции y = kx и y = b , которые получаются, если приравнять к нулю один из коэффициентов. Первая из этих функций обладает свойством нечётности, а вторая является чётной функцией. Подумайте сами, может ли линейная функция проявлять свойство периодичности, и при каких условиях.

Отметим наконец, что не любая прямая является графиком некоторой линейной функции y=f(x) . Уравнение прямой x=a нельзя записать в виде такой функции, так как значению аргумента x=a соответствует более одного значения y .

Квадратичная функция y(x) = ax^2 + bx + c .

image.png График квадратичной функции при a > 0 . Если коэффициент a станет отрицательным, парабола перевернётся вершиной вверх.

При выполнении условия a \not = 0 уравнение y(x) = ax^2 + bx + c задаёт квадратичную функцию, графиком которой является парабола. Областью определения квадратичной функции точно так же будет вся числовая прямая x \in {\mathbb{R}} , а вот область значений — это замкнутый луч, одним из концов которого будет значение функции в вершине параболы.

Координаты вершины параболы легко определить, зная все три коэффициента: абсцисса вершины задаётся хорошо известной вам формулой x_в = -\frac{b}{2a} , а её ординату y_в проще всего получить, подставив это значение в уравнение параболы. Направление луча зависит от знака коэффициента a при старшей степени: при положительных a парабола <<рогами вверх>> будет иметь область значений [y_в; +\infty) , а при отрицательных — (-\infty; y_в] .

Свойством чётности обладает далеко не каждая квадратичная функция. Можете самостоятельно проверить, что необходимым и достаточным условием для этого является равенство нулю второго коэффициента b . Только в этом случае вершина параболы попадает на ось y , при ненулевых значениях b вершина, как и ось симметрии графика квадратичной функции, будет находиться в стороне от оси ординат.

Дробно-линейная функция y(x) = \frac{ax+b}{cx+d} .

Первая и самая важная из дробно-линейных функций — это обратная пропорциональность, функция y=\frac{a}{x} . Её область определения — это множество x \in {\mathbb{R}\backslash\{0\}} или x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty) , множество всех действительных чисел кроме нуля. Такой же будет и область её значений.

image.png Простейший пример дробно-линейной функции -- обратная пропорциональность y = \frac{a}{x} .

Обратная пропорциональность обладает свойством нечётности, при положительных a её график расположен в первой и третьей четверти, а при отрицательных — во второй и четвёртой. Графики прочих дробно-линейных функций получаются из графика обратной пропорциональности при помощи параллельных переносов, сжатий и растяжений, о которых как раз и пойдёт речь в следующем эпизоде.

Построение графиков функций при помощи параллельного переноса.

Существует два подхода к задаче построения графика функции. Первый — полное исследование функции, позволяющее определить все её свойства, такие как чётность или нечётность, периодичность, найти экстремумы и промежутки монотонности, вычислить значение функции в характерных точках. Такое подробное исследование требует знания инструментов математического анализа, таких как производная, и зачастую занимает много времени.

Однако в тех случаях, когда функция получена из другой, уже известной нам функции, при помощи арифметических операций, её график удаётся построить при помощи несложных геометрических преобразований: параллельного переноса и сдвига.

Параллельный перенос.

Предположим, что нам известен график некоторой функции y = f(x) , а требуется построить график функции y = f(x+a) , где a — некоторое число. График такой функции получается при помощи параллельного переноса графика исходной функции y = f(x) на a влево вдоль оси Ox .

image.png Построение функции y = f(x+a) методом параллельного переноса.

Действительно, если на графике <<старой>> функции y = f(x) лежит некоторая точка с координатами (x_0; y_0) , то это означает, что имеет место равенство y_0 = f(x_0) . Если же мы в выражение для новой функции подставим точку (x_0 - a; y_0) , то мы получим такое же верное равенство. Взятая нами произвольная точка <<переехала>> на a влево, а вслед за ней отправился и график целиком (обязательно пересмотрите это место на видео).

image.png Построение функции y = f(x) + a методом параллельного переноса.

Построить график функции y = f(x) + a , имея график <<старой>> функции ничуть не сложнее: если при некотором значении x_0 функция f(x) возвращала нам значение y_0 = f(x_0) , то <<новая>> функция просто будет принимать значение, большее на число a , точка <<переехала>> вверх, как и весь график функции.

Пользуясь этими правилами, можно, к примеру, построить график функции y = \sqrt{x-2}-3 на основе известного графика корня, сдвинув его на 2 направо и на 3 вниз (обязательно посмотрите этот процесс на видео).

image.png Построение графика функции y = \sqrt{x-2}-3 на основе известного графика y = \sqrt{x} можно провести в два действия, сдвинув исходную кривую на два вправо (синяя линия), а после этого -- на 3 вниз (оранжевая линия).

Задача построения графика при помощи параллельного переноса упрощается, если у графика есть какая-нибудь выделенная точка, которую легко найти. К примеру, для графика корня, это будет его вершина, точка, координатами которой будут границы области определения и области значений. В процессе построения графика она переместится из точки (0;0) в точку (2;-3) , а вслед за ней переместится и сам график. Для квадратичной функции такой точкой может служить вершина параболы, а для дробно-линейной — точка пересечения асимптот.

Задачи для самостоятельного решения:

Пользуясь графиком функции y = \sqrt{x} постройте графики следующих функций: y = \sqrt{x+2} + 3, ~~~ y = \sqrt{x+2} - 3, ~~~ y = \sqrt{x-2} + 3.

Пользуясь графиком функции y = x^2 постройте графики следующих функций: y = (x+2)^2 - 4, ~~~ y = x^2 - 6x + 5, ~~~ y = x^2 - 2x - 3, ~~~ y = x^2 + 2x - 3. Где будут находиться вершины построенных парабол?

Построение графиков функций при помощи сжатия, растяжения и отражения.

График функции y = a f(x) можно получить из графика функции y = f(x) при помощи растяжения вдоль оси Oy в a раз. Действительно, если в некоторой точке с абсциссой x_1 функция f(x) принимает значение y_1 = f(x_1) , то значение функции a f(x) будет ровно в a раз больше.

image.png Построение графиков функций y = a f(x) и y = f(ax) при помощи растяжения и сжатия.

Построить график функции y=f(ax) тоже нетрудно, однако обоснование этого алгоритма может оказаться чуть сложнее. В этом случае график функции сожмётся в a раз вдоль оси Ox : если функция y = f(x) принимала значение y_1 при значении аргумента, равном x_1 , то в функцию y = f(ax) для получения такого же результата нужно подставить точку \frac{x_1}{a} . Абсцисса каждой точки на графике уменьшится в a раз, и, как следствие график сожмётся.

Проиллюстрируем эти операции на конкретном примере. Рассмотрим график функции y = x^2 - 1 . Его нетрудно построить, сдвинув параболу y = x^2 на 1 вниз. Важными для нас точками будут его вершина с координатами (0;-1) и корни (-1;0) и (1;0) .

Чтобы построить с его помощью график функции y = 4(x^2-1) , растянем параболу в 4 раза вдоль оси Oy . Вершина параболы, к примеру, переместится в точку (0; -4) , вы можете это проверить при помощи непосредственной подстановки. На месте останутся только нули функции, так как ордината точек (-1;0) и (1;0) равна нулю, на них это изменение никак не скажется.

image.png Построение графиков функций y = 4(x^2-1) и y = (2x)^2 - 1 при помощи растяжения и сжатия.

Теперь рассмотрим график функции y = (2x)^2 - 1 . В соответствии с описанным ранее алгоритмом, он должен сжаться в 2 раза по оси Ox относительно исходного графика. Это легко проверить при помощи нулей функции: новая функция принимает нулевые значения в точках (-0,5;0) и (0,5;0) , что нетрудно проверить при помоши непосредственной подстановки.

Наконец последним инструментом для построения графиков, разобранным сегодня, будет отражение. График функции y = -f(x) получается зеркальным отражением графика функции y = f(x) относительно оси Ox , поскольку все значения новой функции будут равны значениям исходной функции по модулю, но противоположны по знаку.

image.png Построение графиков функций y = -f(x) и y = f(-x) при помощи отражения графика исходной функции относительно начала координат.

В свою очередь график функции y = f(-x) получается зеркальным отражением графика функции y = f(x) относительно оси Oy . Действительно, если на исходном графике функции лежала некоторая точка с координатами (x_0;y_0) , то на графике преобразованной функции обязательно найдётся симметричная ей точка (-x_0; y_0) .

Задачи для самостоятельного решения:

Пользуясь графиком функции y = \sqrt{x} постройте графики следующих функций: y = \sqrt{2-x} + 3, ~~~ y = \sqrt{2-x} - 3, ~~~ y = 3 - \sqrt{x-2}. Найдите области определения и значений этих функций.

Пользуясь графиком функции y = x^2 постройте графики следующих функций: y = 4 - (x+2)^2, ~~~ y = 6x - x^2 - 5, ~~~ y = 3 - x^2 - 2x. Сравните полученные графики с предыдущими.

Постройте графики следующих функций: y = \frac{(x-2)^2}{4}, ~~~ y = 6 - (2x)^2, ~~~ y = \sqrt{4x+4}.