Обратная функция. Построение множеств на плоскости.: Часть 2

Построение множеств на плоскости

\underline{Задача.}

Построить множество точек на плоскости, удовлетворяющих уравнению

x^2+y^2-2x+4y=4.

\underline{Решение.}

Для решения подобных задач удобнее всего сперва выделить в данном уравнении более понятную структуру. В данном случае выделим полные квадраты:

\underbrace{x^2-2x+1}-1+ \underbrace{y^2+4y+4}-4=4,

\left( x-1 \right) ^2 + \left( y+2 \right) ^2 = 9.

Полученное уравнение можно записать в виде

\sqrt{\left( x-1 \right) ^2 + \left( y+2 \right) ^2} = 3.

Множество точек, удовлетворяющих уравнению вида ( \textbf{уравнение окружности} )

\left( x-x_0 \right)^2 + \left( y-y_0 \right) ^2 = R^2

представляют собой окружность с центром в точке (x_0;y_0) и радиусом R .

Таким образом, множество точек (x;y) на плоскости, удовлетворяющих заданному уравнению, имеет вид окружности с центром в точке (1;-2) и радиусом 3 .

image.png Иллюстрация к решению

\underline{Задача.} Построить множество точек на плоскости, удовлетворяющих уравнению

x^2 + 4y^2 - 4x+8y=-17.

\underline{Решение.} Выделим в данном уравнении полные квадраты:

x^2-4x+4+4y^2 +8y+4=-9,

\left( x-2 \right) ^2+ \left( y+2 \right) ^2 = -9.

Очевидно, решением данного уравнения является пусто множество:

\left( x,y \right) \in \o .

\underline{Задача.}

Постройте множество точек, удовлетворяющих неравенству

y< -x .

\underline{Решение.}

Границей данного множества будет прямая y=-x . При этом, так как неравенство строгое, сама граница не входит в множество точек, удовлетворяющих неравенству. Итак, граница делит плоскость на две полуплоскости. Неравенство y< -x выделяет полуплоскость, находящуюся ниже границы.

image.png Иллюстрация к задаче

\underline{Задача.}

Постройте множество точек, удовлетворяющих системе неравенств

\left\{

\begin{array}{lll}

y< -x,\\

y>2x.

\end{array}\right. \underline{Решение.}

Перепишем систему в виде

2x <y < -x.

У этой системы две границы -- y=-x и y=2x . Границы не входят в рассматриваемую область, так как неравенства строгие.

image.png Иллюстрация к задаче

\underline{Задача.}

Найти множество точек, удовлетворяющих неравенству

x\cdot y \geqslant 3.

\underline{Решение.}

Построим границу

x\cdot y = 3,

то есть график функции (при x\neq 0 )

y = \frac{3}{x}.

Графиком данной функции является гипербола. Рассмотрим два случая -- x>0 и x<0 . В случае x> 0 (правая полуплоскость) исходное неравенство эквивалентно y \geqslant \frac{3}{x} . Этому неравенству удовлетворяет множество точек, лежащих выше правой ветки гиперболы. С другой стороны, при x<0 исходное неравенство эквивалентно y \leqslant \frac{3}{x} . Этому неравенству удовлетворяют точки, лежащие ниже левой ветви гиперболы.

image.png Иллюстрация к решению