СТО: причинность и преобразования Лоренца.: Часть 3

Видео

Конспект

Часть 3: Более сложный пример: фаза волны и волновой 4-вектор*.

При рассмотрении плоских волн можно заметить, что наличие в точке \vec{r} в момент времени t узла или пучности волны определяется значением ее фазы \phi=\omega t-\vec{k} \vec{r} , в которой \omega \equiv \frac{2 \pi}{T} - циклическая частота, а \vec{k} \equiv \frac{2 \pi}{\lambda} \vec{n} - волновой вектор волны. Факт наличия узла или пучности не должен зависеть от выбора инерциальной СО, поэтому фаза должна быть скаляром (не должна изменяться). Если заметить, что ее можно записать в виде скалярного произведения \phi=g_{\mu v} k^{\mu} x^{v} , где k^{\mu}=\left(\frac{\omega}{c}, k_{x}, k_{y}, k_{z}\right) , а x^{\mu}-4 -вектор координаты, то можно сделать вывод, что k^{\mu} является 4-вектором. Его естественно назвать «волновым 4вектором». Знание этого факта позволяет легко находить изменение частоты и направления движения волны при переходах между CO.

Применим эти соображения к решению следующей задачи: свет частоты \omega_{0} падает на зеркало, которое движется перпендикулярно своей поверхности со скоростью v . Угол падения равен \alpha . Найти частоту отраженного света и угол отражения.

Решение:

image.png

Направим ось x «неподвижной» \mathrm{CO} K вдоль вектора скорости зеркала, как и ось x^{\prime} \mathrm{CO} K^{\prime} , связанной с движущимся зеркалом (для определенности будем считать, что зеркало «убегает» от падающего луча). Оси у и y^{\prime} направим вдоль поверхности зеркала в плоскости падения луча. Тогда в K компоненты 4 -вектора k^{\mu} имеют значения

k^{\mu}=\left(\frac{\omega_{0}}{c}, \frac{\omega_{0}}{c} \cos \alpha, \frac{\omega_{0}}{c} \sin \alpha, 0\right) и для нахождения их значений в K^{\prime} надо применить преобразования Лоренца:

\left\{\begin{array}{c}

k_{x}^{\prime}=\gamma\left(\frac{\omega_{0}}{c} \cos \alpha-\frac{v}{c} \frac{\omega_{0}}{c}\right)=\gamma \frac{\omega_{0}}{c}\left(\cos \alpha-\frac{v}{c}\right) \\

k_{y}^{\prime}=\frac{\omega_{0}}{c} \sin \alpha \\

k_{0}^{\prime}=\gamma\left(\frac{\omega_{0}}{c}-\frac{v}{c} \frac{\omega_{0}}{c} \cos \alpha\right)=\gamma \frac{\omega_{0}}{c}\left(1-\frac{v}{c} \cos \alpha\right)

\end{array}\right. Закон отражения в K^{\prime} нам известен: при отражении от покоящегося зеркала частота не изменяется, а угол отражения равен углу падения, то есть для волнового 4 -вектора отраженного света q^{\mu} в K^{\prime} справедливы соотношения q_{0}^{\prime}=k_{0}^{\prime}, q_{x}^{\prime}=-k_{x}^{\prime}, q_{y}^{\prime}=k_{y}^{\prime} . Произведя обратное преобразование Лоренца, находим компоненты q^{\mu} в K :

\left\{\begin{array}{c}

q_{x}=-\frac{\omega}{c} \cos \beta=\gamma\left(-k_{x}^{\prime}+\frac{v}{c} k_{0}^{\prime}\right)=-\gamma^{2} \frac{\omega_{0}}{c}\left[\cos \alpha \cdot\left(1+\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)-2 \frac{v}{c}\right] \\

q_{y}=\frac{\omega}{c} \sin \beta=\frac{\omega_{0}}{c} \sin \alpha \\

q_{0}=\frac{\omega}{c}=\gamma\left(k_{0}^{\prime}+\frac{v}{c} k_{x}^{\prime}\right)=\gamma^{2} \frac{\omega_{0}}{c}\left(1-2 \frac{v}{c} \cos \alpha+\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)

\end{array}\right. Из последнего соотношения получаем, что частота отраженного света

\omega=\omega_{0} \frac{1-2 \frac{v}{c} \cos \alpha+\frac{v^{2}}{c^{2}}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} а из двух первых - что

\operatorname{tg} \beta=\frac{\sin \alpha\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)}{\cos \alpha\left(1+\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)-2 \frac{v}{c}}.

Световой луч падает нормально на зеркало, движущееся перпендикулярно

поверхности. Какой должна быть величина скорости зеркала V, чтобы частота отраженного

света была в три раза меньше частоты падающего? В ответе укажите V/c с точностью до

десятых.

Световой луч падает на зеркало, движущееся перпендикулярно поверхности, под углом 60°, а отражается под углом 45°. Найдите величину скорости V зеркала. В ответе укажите V/c с точностью до сотых.