Дополнение

Математические и теоретические дополнения «для развития эрудиции»

Дополнение1: Название «группа» по отношению к совокупности всех преобразований Галилея и Лоренца - это не просто название, а математический термин, обозначающий наличие у этой совокупности определенного свойства. Совокупность некоторых преобразований в математике называют «группой», если последовательное применение любых двух преобразований из совокупности можно заменить на одно преобразование из этой совокупности. Например, трансляции по координате x (преобразование x \rightarrow x^{\prime}=x+a ) образуют группу, поскольку две последовательные трансляции x \rightarrow x^{\prime}=x+a_{1} и x^{\prime} \rightarrow x^{\prime \prime}=x^{\prime}+a_{2} всегда эквивалентны одной x \rightarrow x^{\prime \prime}=x+a , где a=a_{1}+a_{2} . Нетрудно убедиться, что преобразования Галилея и преобразования Лоренца также образуют группу. Свойства групп преобразований изучает специальный раздел математики - теория груnп. Теория групп очень широко применяется в современной теоретической физике, так как она позволяет построить систематическое описание симметрий динамики различных систем (то есть групп преобразований, не изменяющих уравнения динамики).

Дополнение2: Разберем основные принципы описания геометрии реального пространства. Начнем с обычного евклидова пространства. «Геометрия» пространства в эмпирическом исследовании должна определять способы измерения расстояний и углов. Для формальноматематического описания пространства используется метод координат, позволяющий каждой точке пространства сопоставить набор чисел. Поэтому для описания «геометрии» в этом смысле надо указать правило определения расстояний и углов по координатам точек. Например, в евклидовой геометрии трехмерного пространства такие правила строятся с помощью конструкции, называемой «скалярное произведение» векторов. Действительно, расстояние между точками совпадает с корнем из скалярного квадрата соединяющего их вектора: |A B|=\sqrt{\overrightarrow{A B}^{2}} , а угол при вершине A в треугольнике A B C: \alpha=\arccos \left[\frac{(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C})}{|A B||A C|}\right] .

В свою очередь, скалярное произведение векторов вычисляется по их декартовым координатам: (\vec{a} \cdot \vec{b})=a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z} . Такую запись можно считать частным случаем общей (\vec{a} \cdot \vec{b})=\sum_{i, k} g_{i k} a_{i} b_{k} \equiv g_{i k} a_{i} b_{k} \quad (для сокращения записей здесь и далее будет использоваться популярное в математике «соглашение о сокращенной записи суммирования»: если индекс в формуле встречается дважды, то следует произвести суммирование по всем значениям этого индекса). Величину g_{i k} принято записывать в виде «матрицы»: g_{i k}=\left(\begin{array}{lll}g_{x x} & g_{x y} & g_{x z} \\ g_{y x} & g_{y y} & g_{y z} \\ g_{z x} & g_{z y} & g_{z z}\end{array}\right) .

Привычное правило получится, если g_{i k}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) .

Если мы захотим, чтобы скалярное произведение имело одно и тоже значение для всех систем координат, то нужно будет потребовать, чтобы эта матрица имела другой вид. Значит, можно считать, что скалярное произведение определяется этим соотношением во всех возможных координатах, только матрица g_{i k} неким заданным образом преобразуется при переходе из одной системы координат в другую. Тогда g_{i k} называют «метрическим тензором» рассматриваемого пространства. Поскольку он задает скалярное произведение, то он содержит полную информацию о вычислении расстояний и углов по координатам - то есть описывает все «метрические» свойства пространства.

r0.2

Упражнение: Поверхность сферы радиуса R - это двумерное пространство. Можно ввести в нем координаты (x, y) , отсчитываемые от начала координат по «экватору» и меридиану. В отличие от двумерной плоскости, это пространство конечное (для «нумерации» всех точек достаточно использовать 0 \leq x<2 \pi R,-\frac{\pi R}{2} \leq y \leq \frac{\pi R}{2} ) и искривленное. Например, расстояние между двумя точками здесь надо определять как наименьшую длину лежащей на сфере кривой, соединяющей эти точки (легко сообразить, что такой кривой будет дуга окружности большого круга). Построить матрицу метрического тензора этого пространства в координатах (x, y) .

image.png

Внимание: поскольку компоненты g_{i k} здесь сами зависят от координат, нужно строить их для определения расстояний в бесконечно малой окрестности заданной точки, то есть надо получить выражение для квадрата длины бесконечно малой дуги окружности большого круга через бесконечно малые приращения координат.

В евклидовом пространстве можно найти группы преобразований координат, которые не изменяют длины вектора (и другие скалярные величины - скалярные квадраты и скалярные произведения векторов). К таким преобразованиям относятся трехмерные вращения. Например, поворот вокруг оси z (в плоскости (x, y) ) на угол \varphi описывается формулами преобразования координат

\left\{\begin{array}{l}

x \rightarrow x^{\prime}=x \cdot \cos \varphi-y \cdot \sin \varphi \\

y \rightarrow y^{\prime}=x \cdot \sin \varphi+y \cdot \cos \varphi \\

\quad z \rightarrow z^{\prime}=z

\end{array}\right. Нетрудно убедиться, что x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} .

Преобразования Лоренца есть преобразования координат четырехмерного пространства Минковского. Обычно для его описания используются координаты (ct, x, y, z ), считающие компонентами четырехмерного вектора x^{\mu} ( \mu=0,1,2,3 ). Точки этого пространства часто называют «событиями», а линию, соединяющие «события», происходящие с одной точечной частицей - «мировой линией» этой частицы. Отметим один важный геометрический аспект. Если в формулах преобразований Лоренца произвести замену v=c \cdot \operatorname{th}(\varphi){ }^{* *} , то они примут вид

\left\{\begin{array}{c}

x^{\prime}=x \cdot \operatorname{ch}(\varphi)-c t \cdot \operatorname{sh}(\varphi) \\

y^{\prime}=y \\

z^{\prime}=z \\

c t^{\prime}=-x \cdot \operatorname{sh}(\varphi)+c t \cdot \operatorname{ch}(\varphi)

\end{array}\right. то есть становятся очень похожи на преобразования поворота в плоскости (ct, x )! Такое преобразование называют «гиперболическим поворотом» в пространстве Минковского.

**Гиперболические функиии (гиперболический косинус, гиперболический синус и т.д.) определяются следуюшим образом: \operatorname{ch}(\varphi) \equiv \frac{e^{\varphi}+e^{-\varphi}}{2}, \quad \operatorname{sh}(\varphi) \equiv \frac{e^{\varphi}-e^{-\varphi}}{2}, \operatorname{th}(\varphi) \equiv \frac{\operatorname{sh}(\varphi)}{\operatorname{ch}(\varphi)} , и обладают свойствами, «похожими» на свойства тригонометрических функиий: \operatorname{ch}^{2}(\varphi)-\operatorname{sh}^{2}(\varphi)=1,[\operatorname{ch}(\varphi)]^{\prime}=\operatorname{sh}(\varphi),[\operatorname{sh}(\varphi)]^{\prime}=\operatorname{ch}(\varphi) .

Определение «длины» в пространстве Минковского строится путем нахождения величины, инвариантной при всех поворотах (как гиперболических, так и «обычных» в плоскостях (x, y),(y, z) и (z, x) , при которых временная координата не изменяется). Такой величиной является интервал s , для которого s^{2}=(c t)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2} . Это означает, что метрический тензор пространства Минковского в координатах ( c t, x, y, z ) имеет вид:

g_{\mu \nu}=\left(\begin{array}{cccc}

+1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & -1

\end{array}\right) Соответственно, скалярное произведение четырехмерных векторов в пространстве Минковского (a \cdot b)=g_{\mu \nu} a^{\mu} b^{\nu} . Такое пространство уже не является евклидовым.

Дополнение3: Некоторые величины имеют более сложный закон преобразования, чем у 4векторов. Например, трехмерные векторы напряженности и индукции электрического и магнитного полей нельзя считать компонентами каких-либо 4 -векторов (в теоретической физике найдена 4 -мерная величина, компонентами которой они являются, но эта величина имеет более сложную структуру и здесь рассматриваться не будет). Закон их преобразования можно установить, отталкиваясь от установленного опытным путем факта, согласно которому движение релятивистского заряда в электромагнитном поле описывается соотношением \frac{d \vec{p}}{d t}=q\{\vec{E}+[\vec{v} \times \vec{B}]\} , то есть для силы Лоренца нужно использовать точно такое же выражение, как и в нерелятивистском случае. При этом в системе покоя частицы на нее действует одно электрическое поле \vec{E}^{\prime} . Учитывая, что [\vec{v} \times \vec{B}] перпендикулярно вектору скорости \vec{v} и что в это выражение не дает вклада параллельная скорости компонента \vec{B}_{\|} , можно подобрать подходящее преобразование: при переходе из инерциальной CO в другую, движущуюся относительно нее со скоростью \vec{v} ,

\vec{E}^{\prime}=\vec{E}_{\|}+\gamma\left\{\vec{E}_{\perp}+\left[\vec{v} \times \vec{B}_{\perp}\right]\right\} Такое же выражение получается и из строгого построения теории Максвелла. Для индукции магнитного поля получается «симметричное» выражение:

\vec{B}^{\prime}=\vec{B}_{\|}+\gamma\left\{\vec{B}_{\perp}-\frac{1}{c^{2}}\left[\vec{v} \times \vec{E}_{\perp}\right]\right\} (некоторая асимметрия формул - наличие или отсутствие множителя со скоростью света обусловлена использованием системы единиц СИ).

Упражнение: Исследовать электромагнитное поле релятивистского точечного заряда, движущегося равномерно и прямолинейно со скоростью |\vec{v}|=c / 2 (то есть в «лабораторной» системе отсчета закон движения заряда \left.\vec{r}_{0}(t)=\vec{e}_{x} \frac{c t}{2}\right) : получить аналитические выражения для \vec{E}(t, \vec{r}) и \vec{B}(t, \vec{r}) , изобразить картину эквипотенциальных поверхностей электрического поля и картину линий индукции магнитного поля.